Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e, se for, resolva-as:
\left(2 x y+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}+2 x y\right) d y=0;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas com a equação diferencial
\left(2 x y+y^{2}\right)\,dx+\left(x^{2}+2 x y\right)\,dy=0.
As perguntas são:
  • Verificar se a equação é exata.
  • Se for exata, encontrar a solução geral (integral de primeira ordem).
Dado pelo enunciado:
  • M(x,y)=2xy+y^{2} (coeficiente de dx).
  • N(x,y)=x^{2}+2xy (coeficiente de dy).

Passo 2

O que significa ser uma equação exata e como testar:
  • Uma equação da forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existir uma função potencial \varphi(x,y) tal que
d\varphi = \phi_x\,dx+\phi_y\,dy = M\,dx+N\,dy.
Isto implica que
\phi_x=M\quad\text{e}\quad \phi_y=N.
Um teste prático (para funções com derivadas contínuas num domínio simples) é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se isso for verdade no domínio considerado, a equação é exata. Método para resolver quando é exata:
  1. Integrar M(x,y) em relação a x para obter \varphi(x,y)=\int M\,dx + h(y), onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
  2. Diferenciar essa \varphi em relação a y e igualar a N(x,y) para encontrar h'(y).
  3. Determinar h(y) e, assim, \varphi. A solução geral é \varphi(x,y)=C.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais cruzadas para o teste de exatidão:
  • Calcular \dfrac{\partial M}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(2xy+y^{2}\big)=2x+2y.
  • Calcular \dfrac{\partial N}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+2xy\big)=2x+2y.

Passo 4

Comparando os resultados:
\frac{\partial M}{\partial y}=2x+2y=\frac{\partial N}{\partial x}.
Portanto, a equação é exata em qualquer ponto em que as derivadas existam (aqui, polinômios => em todo \mathbb{R}^2). Logo existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que d\varphi=M\,dx+N\,dy.

Passo 5

Encontrar a função potencial \varphi(x,y) integrando M em relação a x:
\varphi(x,y)=\int (2xy+y^{2})\,dx.
Fazendo a integração termo a termo:
\int 2xy\,dx = x^{2}y, \qquad \int y^{2}\,dx = x y^{2}.
Logo, após integrar,
\varphi(x,y)=x^{2}y + x y^{2} + h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida de y.

Passo 6

Determinar h(y) impondo \phi_y=N. Calcular \phi_y a partir da expressão encontrada:
\phi_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y + x y^{2} + h(y)\big) = x^{2} + 2xy + h'(y).
Igualando a N(x,y):
x^{2}+2xy + h'(y) = x^{2}+2xy.
Dessa igualdade segue que
h'(y)=0.

Passo 7

Integrando h'(y)=0 obtemos h(y)=\text{constante}. Assim a função potencial (até uma constante) é
\varphi(x,y)=x^{2}y + x y^{2} + \text{constante}.
A solução geral implícita da equação diferencial é dada por \varphi(x,y)=C, onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

x^{2}y + x y^{2} = C

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