Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e, se for, resolva-as:
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas com a equação diferencial
As perguntas são:
- Verificar se a equação é exata.
- Se for exata, encontrar a solução geral (integral de primeira ordem).
Dado pelo enunciado:
-
(coeficiente de ). -
(coeficiente de ).
Passo 2
O que significa ser uma equação exata e como testar:
- Uma equação da forma
é exata se existir uma função potencial tal que
Isto implica que
Um teste prático (para funções com derivadas contínuas num domínio simples) é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Se isso for verdade no domínio considerado, a equação é exata. Método para resolver quando é exata:
- Integrar
em relação a para obter , onde é uma “constante” de integração que pode depender de . - Diferenciar essa
em relação a e igualar a para encontrar . - Determinar
e, assim, . A solução geral é .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais cruzadas para o teste de exatidão:
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 4
Comparando os resultados:
Portanto, a equação é exata em qualquer ponto em que as derivadas existam (aqui, polinômios => em todo
). Logo existe uma função potencial
tal que
.
Passo 5
Encontrar a função potencial
integrando
em relação a
:
Fazendo a integração termo a termo:
Logo, após integrar,
onde
é uma função desconhecida de
.
Passo 6
Determinar
impondo
. Calcular
a partir da expressão encontrada:
Igualando a
:
Dessa igualdade segue que
Passo 7
Integrando
obtemos
. Assim a função potencial (até uma constante) é
A solução geral implícita da equação diferencial é dada por
, onde
é uma constante arbitrária.