Derive a função.
h(x)=x^{2+\ln x}

Passo 1

O enunciado dá a função \,h(x)=x^{2+\ln x}\, e pede a sua derivada h'(x).
Informações relevantes que temos:
  • A função envolve potência com base dependente de x e expoente também dependente de x.
  • O logaritmo natural aparece no expoente: \ln x. Isso exige x>0 (domínio da função).
  • Objetivo claro: encontrar h'(x) para x>0.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática): quando a função tem a forma \,y=f(x)^{g(x)} (base e expoente dependem de x), o método mais simples e seguro é a diferenciação logarítmica. A ideia é:
  • Tomar o logaritmo natural dos dois lados para transformar a potência em produto.
  • Diferenciar implicitamente usando a regra da cadeia.
    Em geral, se \,y=f(x)^{g(x)} então \ln y = g(x)\ln f(x). Isso facilita muito a diferenciação.

Passo 3

Aplicando a diferenciação logarítmica na nossa função:
h(x)=x^{2+\ln x}.
Tomamos logaritmo natural em ambos os lados (usando a propriedade \ln(a^b)=b\ln a):
\ln h(x) = (2+\ln x)\ln x.
Simplificando o lado direito (distribuindo):
\ln h(x) = 2\ln x + (\ln x)^2.

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Lembrete das regras que vamos usar:
  • Derivada de \ln(u(x)) é \dfrac{u'(x)}{u(x)} (regra da cadeia).
  • Derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}.
  • Derivada de u(x)^2 é 2u(x)u'(x) (regra da cadeia aplicada a potência).
    Aplicando isso:
    esquerda:
\frac{d}{dx}\big(\ln h(x)\big)=\frac{h'(x)}{h(x)}.
direita:
\frac{d}{dx}\big(2\ln x\big)=2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x},
\frac{d}{dx}\big((\ln x)^2\big)=2\ln x\cdot\frac{1}{x}=\frac{2\ln x}{x}.
Somando as derivadas do lado direito:
\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{2}{x}+\frac{2\ln x}{x}=\frac{2(1+\ln x)}{x}.

Passo 5

Isolando h'(x) multiplicando ambos os lados por h(x):
h'(x)=h(x)\cdot\frac{2(1+\ln x)}{x}.
Substituindo h(x)=x^{2+\ln x}:
h'(x)=x^{2+\ln x}\cdot\frac{2(1+\ln x)}{x}.
Simplificando a potência dividindo por x (subtraindo 1 do expoente):
h'(x)=2(1+\ln x)\,x^{1+\ln x}.
Lembrando: essa expressão vale para \,x>0.

Resposta

h'(x)=2(1+\ln x)\,x^{1+\ln x}

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