Derive a função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função envolve potência com base dependente de
e expoente também dependente de . - O logaritmo natural aparece no expoente:
. Isso exige (domínio da função). - Objetivo claro: encontrar
para .
Passo 2
Escolha do método (explicação didática): quando a função tem a forma
(base e expoente dependem de
), o método mais simples e seguro é a diferenciação logarítmica. A ideia é:
- Tomar o logaritmo natural dos dois lados para transformar a potência em produto.
- Diferenciar implicitamente usando a regra da cadeia.
Em geral, seentão . Isso facilita muito a diferenciação.
Passo 3
Aplicando a diferenciação logarítmica na nossa função:
Tomamos logaritmo natural em ambos os lados (usando a propriedade
):
Simplificando o lado direito (distribuindo):
Passo 4
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. Lembrete das regras que vamos usar:
- Derivada de
é (regra da cadeia). - Derivada de
é . - Derivada de
é (regra da cadeia aplicada a potência).
Aplicando isso:
esquerda:
direita:
Somando as derivadas do lado direito:
Passo 5
Isolando
multiplicando ambos os lados por
:
Substituindo
:
Simplificando a potência dividindo por
(subtraindo
do expoente):
Lembrando: essa expressão vale para
.