Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada ê verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se an+1-an>0 com qualquer n >= 1, então a sequência an será estritamente crescente.

Passo 1

O enunciado pergunta se a condição “ an+1-an>0 para todo n>=1” implica que a sequência an é estritamente crescente. O conteúdo aqui é monotonicidade de sequências e vamos usar definição de sequência estritamente crescente e soma telescópica.

Passo 2

Da condição an+1-an>0 segue imediatamente que an+1>an para todo n. Isso mostra que cada termo sucessor é maior que o anterior, o que confirma monotonicidade estrita no passo a passo.

Passo 3

Para reforçar que isso vale para qualquer par de índices m>n, consideramos a diferença am - an e escrevemos em forma de soma telescópica:
am - an = sumk=n^m-1l(ak+1-akr)
Como cada parcela ak+1-ak é positiva, a soma também é positiva, ou seja, am - an>0 e portanto am>an sempre que m>n.
Isso coincide exatamente com a definição de sequência estritamente crescente.

Passo 4

Logo, a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro

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