Considere a equação diferencial ordinária (E.D.O.) dada por
x^2 y^prime prime(x)+2 x y^prime(x)-2 y(x)=0 com x>0,
[0, 5] calcule o Wronskiano, W(y1, y2)(x);

Passo 1

O enunciado dá a E.D.O. de Cauchy–Euler
x^2y''(x)+2x y'(x)-2y(x)=0,
para x>0, e pede o Wronskiano das duas soluções fundamentais. Vamos usar o método do palpite y=x^r para achar as raízes do polinômio característico.

Passo 2

Substituindo y=x^r na equação, temos
x^2(r(r-1)x^r-2)+2x(r x^r-1)-2x^r=0
Fatorando x^r e simplificando, obtemos o polinômio
r(r-1)+2r-2=0,
ou seja
r^2+r-2=0
Resolvendo, achamos r=1 e r=-2, logo duas soluções independentes são y1(x)=x e y2(x)=x^-2.

Passo 3

Para calcular o Wronskiano, definimos
W(y1,y2)(x)= y1(x)&y2(x) y1'(x)&y2'(x)
Como y1(x)=x e y2(x)=x^-2, temos
y1'(x)=1,
y2'(x)=-2x^-3
Logo

Passo 4

Em forma de determinante:
W(y1,y2)(x)= x & x^-2 1 & -2x^-3 = xcdot(-2x^-3) - 1cdot x^-2 = -2x^-2 - x^-2 = -3x^-2

Resposta

-3x^-2

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