Considere a equação diferencial ordinária (E.D.O.) dada por
x^2 y^prime prime(x)+2 x y^prime(x)-2 y(x)=0 com x>0,
[0 , 5] o que se pode dizer sobre a solução geral da E.D.O. dada.

Passo 1

Estamos diante de uma E.D.O. do tipo Euler–Cauchy:
x^2y''(x)+2x y'(x)-2y(x)=0,
onde vemos que os coeficientes em cada derivada são potências de x. Para resolver, vamos usar o ansatz padrão de Euler: y(x)=x^r.

Passo 2

Substituindo y(x)=x^r na E.D.O. temos:
y'(x)=r x^r-1,
y''(x)=r(r-1)x^r-2
Então o lado esquerdo vira:
$$
x{2}\bigl[r(r-1)x{r-2}$$+2x\bigl[r x{r-1}]-2x{r}=\bigl[r(r-1)+2r-2\bigr]x^{r}=0.
]
Isso leva à equação característica

Passo 3

A equação característica é
r(r-1)+2r-2=0
ou seja
r^2+r-2=0

Passo 4

Resolvendo r^2+r-2=0 pelo discriminante:
r=-1pmraiz1+82=-1pm32,
resultando em r1=1 e r2=-2.

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da E.D.O. é
y(x)=C1x^r1+C2x^r2=C1x+C2x^-2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Observação sobre o domínio: x=0 é um ponto singular (o coeficiente de y'' se anula). Portanto a solução encontrada é válida para x>0, por exemplo no intervalo (0,5].

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1x+C2x^-2,
válida para x>0.

Exercícios relacionados