Considere a equação diferencial ordinária (E.D.O.) dada por
o que se pode dizer sobre a solução geral da E.D.O. dada.
Passo 1
Estamos diante de uma E.D.O. do tipo Euler–Cauchy:
onde vemos que os coeficientes em cada derivada são potências de
. Para resolver, vamos usar o ansatz padrão de Euler:
.
Passo 2
Substituindo
na E.D.O. temos:
Então o lado esquerdo vira:
$$
x{2}\bigl[r(r-1)x{r-2}$$+2x\bigl[r x{r-1}]-2x{r}=\bigl[r(r-1)+2r-2\bigr]x^{r}=0.
]
]
Isso leva à equação característica
Passo 3
A equação característica é
ou seja
Passo 4
Resolvendo
pelo discriminante:
resultando em
e
.
Passo 5
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da E.D.O. é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Observação sobre o domínio: x=0 é um ponto singular (o coeficiente de
se anula). Portanto a solução encontrada é válida para
, por exemplo no intervalo
.
Resposta
A solução geral é
válida para
.