Considere a equação diferencial ordinária (E.D.O.) dada por
x^2 y^prime prime(x)+2 x y^prime(x)-2 y(x)=0 com x>0,
[1 , 0] sabendo que y1(x)=x é solução da E.D.O. dada, encontre v(x) não constante, tal que y(x)=x v(x) seja solução da E.D.O. dada;

Passo 1

Temos a E.D.O.
x^2y''+2xy'-2y=0,
com a solução conhecida y1(x)=x. O que precisamos é usar redução de ordem para encontrar uma outra solução da forma y(x)=x,v(x), com v(x) não constante.

Passo 2

Como y(x)=x,v(x), calculamos as derivadas:
y'=v+xv',
y''=2v'+xv''

Passo 3

Substituímos y,y',y'' na E.D.O.:
x^2(2v'+xv'')+2x(v+xv')-2(xv)=0

Passo 4

Distribuindo e simplificando (os termos 2xv e -2xv se anulam):
x^3v''+4x^2v'=0

Passo 5

Dividindo por x^2 (pois x>0) e escrevendo u=v':
xv''+4v'=0 xu'+4u=0
Isto é um E.D.O. de primeira ordem em u.

Passo 6

Resolvemos xu'+4u=0:
u'u=-4ximplies u=C1x^-4
Agora integramos para achar v:
v(x)=integral C1x^-4,dx=C1l(-tfrac13x^-3r)+C2
O termo constante C2 gera solução proporcional a y1, então a parte não constante é dada por v(x)propto x^-3.

Resposta

Uma escolha conveniente é v(x)=x^{-3}.

Exercícios relacionados