Considere a equação diferencial ordinária (E.D.O.) dada por
sabendo que
é solução da E.D.O. dada, encontre
não constante, tal que
seja solução da E.D.O. dada;
Passo 1
Temos a E.D.O.
com a solução conhecida
. O que precisamos é usar redução de ordem para encontrar uma outra solução da forma
, com
não constante.
Passo 2
Como
, calculamos as derivadas:
Passo 3
Substituímos
na E.D.O.:
Passo 4
Distribuindo e simplificando (os termos
e
se anulam):
Passo 5
Dividindo por
(pois
) e escrevendo
:
Isto é um E.D.O. de primeira ordem em
.
Passo 6
Resolvemos
:
Agora integramos para achar
:
O termo constante
gera solução proporcional a
, então a parte não constante é dada por
.
Resposta
Uma escolha conveniente é v(x)=x^{-3}.