Considere a equação diferencial ordinária (E.D.O.) dada por
x^2 y^prime prime(x)+2 x y^prime(x)-2 y(x)=0 com x>0,
[1 , 0] a partir de y(x) é possível encontrar y2(x) uma segunda solução da E.D.O. linearmente independente de y1(x). Escreva y2(x);

Passo 1

A equação dada é uma E.D.O. de Euler-Cauchy: x^2y''(x)+2x y'(x)-2y(x)=0, para x>0. Sabemos uma solução particular y1(x) (digamos y1(x)=x) e queremos encontrar uma segunda solução linearmente independente y2(x) usando a técnica de redução de ordem.

Passo 2

Para escrever a E.D.O. no formato padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0, dividimos tudo por x^2. Assim,
y''(x)+2xy'(x)-2x^2y(x)=0

Passo 3

Na redução de ordem, a fórmula para y2(x) é
y2(x)=y1(x)integral e^-integral P(x),dxy1(x)^2,dx,onde P(x)=2/x.

Passo 4

Calculamos e^-integral P(x)dx=e^-integral (2/x)dx=e^-2ln x=x^-2 Como y1(x)=x, temos
$$\frac{e^{-\int Pdx}}{y_{1}{2}}=\frac{x{-2}}{x{2}}=x{-4}.
$$

Passo 5

Integramos:
integral x^-4,dx=-13x^-3+C

Passo 6

Logo,
y2(x)=y1(x)l(-tfrac13x^-3r)=xcdotl(-tfrac13x^-3r)=-tfrac13x^-2

Passo 7

Como constantes não afetam a independência linear, escolhemos
$$y_{2}(x)=x^{-2}.
$$

Resposta

y2(x)=x^-2

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