Considere a equação diferencial ordinária (E.D.O.) dada por
a partir de
é possível encontrar
uma segunda solução da E.D.O. linearmente independente de
. Escreva
;
Passo 1
A equação dada é uma E.D.O. de Euler-Cauchy:
para
. Sabemos uma solução particular
(digamos
) e queremos encontrar uma segunda solução linearmente independente
usando a técnica de redução de ordem.
Passo 2
Para escrever a E.D.O. no formato padrão
, dividimos tudo por
. Assim,
Passo 3
Na redução de ordem, a fórmula para
é
Passo 4
Calculamos
Como
, temos
$$\frac{e^{-\int Pdx}}{y_{1}{2}}=\frac{x{-2}}{x{2}}=x{-4}.
$$
Passo 5
Integramos:
Passo 6
Logo,
Passo 7
Como constantes não afetam a independência linear, escolhemos
$$y_{2}(x)=x^{-2}.
$$