Dada a E.D.O. linear não-homogênea
y^prime prime(x)+5 y^prime(x)+6 y(x)=e^-4 x
[1 , 0] determine um conjunto funtamental de soluções, y1(x) e y2(x), para a E.D.O. homogênea associada;

Passo 1

O enunciado pede para achar um conjunto fundamental de soluções para a E.D.O. homogênea associada à
y''+5y'+6y=0
usando as condições iniciais normalizadas y1(0)=1, y1'(0)=0 e y2(0)=0, y2'(0)=1. O conteúdo principal é resolver equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes via equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica correspondente:
r^2 + 5r + 6 = 0
Resolvendo-a, fatoramos:
(r+2)(r+3)=0
Logo, as raízes são r1=-2 e r2=-3, e a solução geral da homogênea é
yh(x)=C1e^-2x+C2e^-3x

Passo 3

Para obter y1(x) com y1(0)=1 e y1'(0)=0, impomos:
C1 + C2 = 1, -2C1 - 3C2 = 0
Resolvendo, obtemos C1=3 e C2=-2. Portanto,
y1(x) = 3e^-2x - 2e^-3x

Passo 4

Para obter y2(x) com y2(0)=0 e y2'(0)=1, impomos:
C1 + C2 = 0, -2C1 - 3C2 = 1
Resolvendo, achamos C1=1 e C2=-1. Assim,
y2(x) = e^-2x - e^-3x

Resposta

Um conjunto fundamental de soluções normalizado é
y1(x) = 3e^-2x - 2e^-3x,
y2(x) = e^-2x - e^-3x

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