Considere a seguinte equação diferencial linear de primeira ordem:
y^prime(x)-y(x)=2 x e^2 x,
[1 , 0] determine a solução geral da equação dada;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y^prime(x) - y(x) = 2x e^2x,
e um condição inicial que parece ser $ y(1) = 0 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, uma função $ y(x) $ que satisfaz a equação para qualquer $ x $ e também atende à condição inicial dada. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método do fator integrante. Para uma equação diferencial da forma:
y' + P(x)y = Q(x),
a gente encontra um fator integrante $ \mu(x) $ que é dado por:
mu(x)
Esse fator nos ajuda a simplificar a equação para que ela possa ser facilmente integrada.
No nosso caso, a equação está escrita como:
mu(x) = e^integral P(x)dx
que pode ser reorganizada para:
y^prime(x) - y(x) = 2x e^2x,
Aqui, $ P(x) = -1 $ e $ Q(x) = 2x e^{2x} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Esse fator vai ser multiplicado em toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) = e^{-x} $:
mu(x) = e^-x
Simplificando o lado direito:
e^-xy' - e^-xy = 2x e^2x cdot e^-x
Então, a equação fica:
2x e^2x - x = 2x e^x

Passo 5

A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x)y $. Vamos verificar isso:
mu(x)y
Então, nossa equação fica:
ddx ( e^-x y ) = e^-x y' - e^-x y

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
x
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente $ e^{-x} y $:
integral ddx ( e^-x y ) dx = integral 2x e^x dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral $ \int 2x e^{x} dx $. Para isso, usamos a integração por partes, onde:
  • $ u = 2x $ ⇒ $ du = 2 dx $
  • $ dv = e^{x} dx $ ⇒ $ v = e^{x} $
Aplicando a fórmula $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
integral 2x e^x dx
Então, voltando à nossa equação:
u = 2x

Passo 8

Vamos agora isolar $ y $ multiplicando ambos os lados por $ e^{x} $:
y
Podemos fatorar $ e^{2x} $ nos primeiros dois termos:
e^x

Passo 9

Finalmente, aplicando a condição inicial $ y(1) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $:
y(1) = 0
C
0 = e^2(1)(2(1) - 2) + C e^1,
0 = e^2(2 - 2) + C e,

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada, que satisfaz a condição inicial $ y(1) = 0 $, é:
y(1) = 0

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