Considere a seguinte equação diferencial linear de primeira ordem:
determine a solução geral da equação dada;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial linear de primeira ordem:
e um condição inicial que parece ser $ y(1) = 0 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, uma função $ y(x) $ que satisfaz a equação para qualquer $ x $ e também atende à condição inicial dada. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método do fator integrante. Para uma equação diferencial da forma:
a gente encontra um fator integrante $ \mu(x) $ que é dado por:
Esse fator nos ajuda a simplificar a equação para que ela possa ser facilmente integrada.
No nosso caso, a equação está escrita como:
que pode ser reorganizada para:
Aqui, $ P(x) = -1 $ e $ Q(x) = 2x e^{2x} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante $ \mu(x) $:
Esse fator vai ser multiplicado em toda a equação para facilitar a resolução.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) = e^{-x} $:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x)y $. Vamos verificar isso:
Então, nossa equação fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente $ e^{-x} y $:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral $ \int 2x e^{x} dx $. Para isso, usamos a integração por partes, onde:
- $ u = 2x $ ⇒ $ du = 2 dx $
- $ dv = e^{x} dx $ ⇒ $ v = e^{x} $
Aplicando a fórmula $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Então, voltando à nossa equação:
Passo 8
Vamos agora isolar $ y $ multiplicando ambos os lados por $ e^{x} $:
Podemos fatorar $ e^{2x} $ nos primeiros dois termos:
Passo 9
Finalmente, aplicando a condição inicial $ y(1) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada, que satisfaz a condição inicial $ y(1) = 0 $, é: