Considere a seguinte equação diferencial linear de primeira ordem:
y^prime(x)-y(x)=2 x e^2 x,
[0, 5] verifique que o fator integrante mu(x)=e^-x;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y^prime(x) - y(x) = 2x e^2x,
e o intervalo considerado é de 0 a 5. A tarefa aqui é verificar que o fator integrante dessa equação é mu(x) = e^-x. Basicamente, estamos lidando com equações diferenciais lineares e vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver ou verificar essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona uma equação diferencial linear de primeira ordem. Ela tem a forma geral:
y^prime + P(x) y = Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x. O objetivo é encontrar uma função y(x) que satisfaça essa equação.
No nosso caso, a equação dada é:
y^prime - y = 2x e^2x
Aqui, podemos identificar que P(x) = -1 e Q(x) = 2x e^2x.

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos o método do fator integrante. O fator integrante, mu(x), é uma função que multiplicamos em toda a equação para que o lado esquerdo da equação se torne a derivada de um produto.
A fórmula para o fator integrante é:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular isso para nosso P(x) = -1.

Passo 4

Calculando o fator integrante:
mu(x) = e^integral -1 dx = e^-x
Então, de fato, o fator integrante é mu(x) = e^-x, como a questão sugeriu.

Passo 5

Com o fator integrante verificado, podemos multiplicar toda a equação original por mu(x):
e^-x y^prime - e^-x y = 2x e^2x e^-x
Simplificando o lado direito:
2x e^x
Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada do produto mu(x) y, ou seja:
ddx ( e^-x y ) = 2x e^x
Isso confirma que e^-x é, de fato, o fator integrante correto para a equação dada.

Resposta

O fator integrante mu(x) = e^-x é de fato o correto para a equação diferencial dada.

Exercícios relacionados