Considere a seguinte equação diferencial linear de primeira ordem:
verifique que o fator integrante
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
e o intervalo considerado é de
a
. A tarefa aqui é verificar que o fator integrante dessa equação é
. Basicamente, estamos lidando com equações diferenciais lineares e vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver ou verificar essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona uma equação diferencial linear de primeira ordem. Ela tem a forma geral:
onde
e
são funções conhecidas de
. O objetivo é encontrar uma função
que satisfaça essa equação.
No nosso caso, a equação dada é:
Aqui, podemos identificar que
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, usamos o método do fator integrante. O fator integrante,
, é uma função que multiplicamos em toda a equação para que o lado esquerdo da equação se torne a derivada de um produto.
A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular isso para nosso
.
Passo 4
Calculando o fator integrante:
Então, de fato, o fator integrante é
, como a questão sugeriu.
Passo 5
Com o fator integrante verificado, podemos multiplicar toda a equação original por
:
Simplificando o lado direito:
Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
, ou seja:
Isso confirma que
é, de fato, o fator integrante correto para a equação dada.
Resposta
O fator integrante
é de fato o correto para a equação diferencial dada.