Considere a equação diferencial ordinária de
ordem com coeficientes constantes homogênea
a) Descreva o polinômio característico.
b) De acordo com as raízes do polinômio acima, descreva a forma geral das soluções da equação.
b) De acordo com as raízes do polinômio acima, descreva a forma geral das soluções da equação.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
onde
são constantes e presume-se
.
As perguntas são:
a) Descrever o polinômio característico associado a essa equação.
b) De acordo com as raízes desse polinômio, descrever a forma geral das soluções da equação (ou seja, quais são as soluções gerais nos diferentes tipos de raízes).
As perguntas são:
a) Descrever o polinômio característico associado a essa equação.
b) De acordo com as raízes desse polinômio, descrever a forma geral das soluções da equação (ou seja, quais são as soluções gerais nos diferentes tipos de raízes).
Passo 2
Motivação e escolha do método (sem resolver ainda): uma forma padrão de encontrar soluções para equações lineares com coeficientes constantes é tentar uma solução do tipo exponencial
porque a derivada de uma exponencial é a própria exponencial vezes uma constante, o que combina bem com a forma da equação. Vou substituir essa forma na equação para obter uma condição sobre
; essa condição é o que chamamos de polinômio (ou equação) característico.
Passo 3
Substituição do ansatz
e dedução do polinômio característico.
Calcule as derivadas:
Substituindo na equação:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obter:
Esse é o polinômio (ou equação) característico da equação diferencial. (Resposta da letra a).)
Passo 4
Interpretação do polinômio característico e relação com soluções: cada raiz
da equação característicachove a um fator
que satisfaz a equação diferencial. Portanto, as formas das soluções gerais dependem do tipo de raízes da equação
As possibilidades são: (i) duas raízes reais distintas, (ii) raiz real dupla (multiplicidade 2), (iii) duas raízes complexas conjugadas. Vou tratar cada caso separadamente e explicar por que cada forma é válida.
Passo 5
Caso 1 — duas raízes reais distintas.
Se as raízes do polinômio característico são e
com
(ambas reais), então as funções
Se as raízes do polinômio característico são
são soluções independentes da equação diferencial. Como a equação é linear de segunda ordem, a combinação linear geral das soluções independentes dá a solução geral:
onde
e
são constantes arbitrárias reais. (Breve justificativa de independência: o Wronskiano é proporcional a
, logo as soluções são linearmente independentes.)
Passo 6
Caso 2 — raiz real dupla.
Se o polinômio característico tem uma raiz real de multiplicidade 2, digamos , então apenas uma solução exponencial distinta
aparece diretamente. Para obter uma segunda solução independente, usa-se um truque clássico: considerar a família
e expandir em
pequeno, ou aplicar o método de redução de ordem. A expansão leva à função
como segunda solução independente. Logo a solução geral é
Se o polinômio característico tem uma raiz real de multiplicidade 2, digamos
com
constantes reais. (Intuição curta:
surge como o “limite” de duas exponenciais quando as raízes coincidem.)
Passo 7
Caso 3 — raízes complexas conjugadas.
Se as raízes são complexas conjugadas com
, então soluções complexas são
e
. Usando a fórmula de Euler,
Se as raízes são complexas conjugadas
As partes real e imaginária dessa solução complexa são soluções reais da equação diferencial e são linearmente independentes. Portanto a solução geral, em termos reais, é
com
constantes reais. Aqui
controla o decaimento/crescimento exponencial e
a frequência das oscilações.
Passo 8
Resumo prático e observações finais (para fazer na prova):
- Primeiro escreva o polinômio característico
. - Resolva esse polinômio (fórmula de Bhaskara ou fatoração) para encontrar as raízes.
- Escolha a forma da solução geral de acordo com o tipo de raízes usando as três fórmulas dadas acima.
- Lembre-se de que
e são constantes arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais se fornecidas. Força aí — essa questão é padrão e muito cobrada; sabendo essas três formas você resolve qualquer caso!
Resposta
a)
b) Se as raízes são e
reais distintas:
Se há raiz real dupla :
Se as raízes são complexas (
):
b) Se as raízes são
Se há raiz real dupla
Se as raízes são complexas