Considere a equação diferencial ordinária de 2^{a} ordem com coeficientes constantes homogênea
a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0
a) Descreva o polinômio característico.
b) De acordo com as raízes do polinômio acima, descreva a forma geral das soluções da equação.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
a\,y'' + b\,y' + c\,y = 0,
onde a,b,c são constantes e presume-se a \neq 0.
As perguntas são:
a) Descrever o polinômio característico associado a essa equação.
b) De acordo com as raízes desse polinômio, descrever a forma geral das soluções da equação (ou seja, quais são as soluções gerais nos diferentes tipos de raízes).

Passo 2

Motivação e escolha do método (sem resolver ainda): uma forma padrão de encontrar soluções para equações lineares com coeficientes constantes é tentar uma solução do tipo exponencial
y(x)=e^{r x},
porque a derivada de uma exponencial é a própria exponencial vezes uma constante, o que combina bem com a forma da equação. Vou substituir essa forma na equação para obter uma condição sobre r; essa condição é o que chamamos de polinômio (ou equação) característico.

Passo 3

Substituição do ansatz y=e^{r x} e dedução do polinômio característico.
Calcule as derivadas:
y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação:
a\,(r^{2} e^{r x}) + b\,(r e^{r x}) + c\,(e^{r x}) = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e obter:
a r^{2} + b r + c = 0.
Esse é o polinômio (ou equação) característico da equação diferencial. (Resposta da letra a).)

Passo 4

Interpretação do polinômio característico e relação com soluções: cada raiz r da equação característicachove a um fator e^{r x} que satisfaz a equação diferencial. Portanto, as formas das soluções gerais dependem do tipo de raízes da equação
a r^{2} + b r + c = 0.
As possibilidades são: (i) duas raízes reais distintas, (ii) raiz real dupla (multiplicidade 2), (iii) duas raízes complexas conjugadas. Vou tratar cada caso separadamente e explicar por que cada forma é válida.

Passo 5

Caso 1 — duas raízes reais distintas.
Se as raízes do polinômio característico são \,r_{1} e \,r_{2} com \,r_{1}\neq r_{2} (ambas reais), então as funções
e^{r_{1}x}\quad\text{e}\quad e^{r_{2}x}
são soluções independentes da equação diferencial. Como a equação é linear de segunda ordem, a combinação linear geral das soluções independentes dá a solução geral:
y(x)=C_{1} e^{r_{1}x} + C_{2} e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais. (Breve justificativa de independência: o Wronskiano é proporcional a (r_{2}-r_{1})e^{(r_{1}+r_{2})x}\neq 0, logo as soluções são linearmente independentes.)

Passo 6

Caso 2 — raiz real dupla.
Se o polinômio característico tem uma raiz real de multiplicidade 2, digamos \,r_{1}=r_{2}=r, então apenas uma solução exponencial distinta e^{r x} aparece diretamente. Para obter uma segunda solução independente, usa-se um truque clássico: considerar a família e^{(r+\epsilon)x}=e^{r x}e^{\epsilon x} e expandir em \epsilon pequeno, ou aplicar o método de redução de ordem. A expansão leva à função x e^{r x} como segunda solução independente. Logo a solução geral é
y(x) = (C_{1} + C_{2} x)\,e^{r x},
com C_{1},C_{2} constantes reais. (Intuição curta: x e^{r x} surge como o “limite” de duas exponenciais quando as raízes coincidem.)

Passo 7

Caso 3 — raízes complexas conjugadas.
Se as raízes são complexas conjugadas \,r=\alpha \pm i\beta com \beta>0, então soluções complexas são e^{(\alpha + i\beta)x} e e^{(\alpha - i\beta)x}. Usando a fórmula de Euler,
e^{(\alpha + i\beta)x} = e^{\alpha x}\big(\cos(\beta x) + i\sin(\beta x)\big).
As partes real e imaginária dessa solução complexa são soluções reais da equação diferencial e são linearmente independentes. Portanto a solução geral, em termos reais, é
y(x) = e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x) + C_{2}\sin(\beta x)\big),
com C_{1},C_{2} constantes reais. Aqui \alpha controla o decaimento/crescimento exponencial e \beta a frequência das oscilações.

Passo 8

Resumo prático e observações finais (para fazer na prova):
  • Primeiro escreva o polinômio característico \,a r^{2}+b r + c = 0.
  • Resolva esse polinômio (fórmula de Bhaskara ou fatoração) para encontrar as raízes.
  • Escolha a forma da solução geral de acordo com o tipo de raízes usando as três fórmulas dadas acima.
  • Lembre-se de que C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais se fornecidas. Força aí — essa questão é padrão e muito cobrada; sabendo essas três formas você resolve qualquer caso!

Resposta

a) \;a r^{2} + b r + c = 0.
b) Se as raízes são r_{1} e r_{2} reais distintas: \;y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}.
Se há raiz real dupla r: \;y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{r x}.
Se as raízes são complexas \alpha\pm i\beta ( \beta>0): \;y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big).

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