O que se pode dizer a respeito da solução geral de , sabendo que duas soluções particulares são e ?
Dica: A equação diferencial , por ser de ordem, possui duas soluções LI. Caso as soluções particulares fornecidas forem LI, então a solução geral desta equação diferencial será a combinação linear de e . Portanto, verifique se e são LI.
Passo 1
O enunciado trata de encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
A equação dada é e foram fornecidas duas soluções particulares: e . Vamos verificar se essas soluções são linearmente independentes (LI) e, em caso afirmativo, usar a combinação linear para obter a solução geral.
Passo 2
Para verificar a independência linear calculamos o Wronskiano das duas funções. Primeiro, encontramos as derivadas:
Em seguida, montamos o Wronskiano:
Passo 3
Como o Wronskiano é diferente de zero para todo x, concluímos que y1 e y2 são linearmente independentes em R. Em equações diferenciais de segunda ordem, duas soluções LI geram toda a família de soluções da equação homogênea.
Passo 4
Portanto, a solução geral de y''+16y=0 é a combinação linear de y1 e y2: