O que se pode dizer a respeito da solução geral de y^prime prime+16 y=0, sabendo que duas soluções particulares são y1(x)=2 sen 4 x e y2(x)=-cos 4 x ?
Dica: A equação diferencial y^prime prime+16 y=0, por ser de 2^a ordem, possui duas soluções LI. Caso as soluções particulares fornecidas forem LI, então a solução geral desta equação diferencial será a combinação linear de y1 e y2. Portanto, verifique se y1 e y2 são LI.

Passo 1

O enunciado trata de encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
A equação dada é y''+16y=0 e foram fornecidas duas soluções particulares: y1(x)=2sin4x e y2(x)=-cos4x. Vamos verificar se essas soluções são linearmente independentes (LI) e, em caso afirmativo, usar a combinação linear para obter a solução geral.

Passo 2

Para verificar a independência linear calculamos o Wronskiano das duas funções. Primeiro, encontramos as derivadas:
y1'(x)=8cos4x
y2'(x)=4sin4x
Em seguida, montamos o Wronskiano:
W(y1,y2)(x)=y1 & y2 y1' & y2' =y1,y2' - y2,y1' =2sin4xcdot4sin4x - (-cos4x)cdot8cos4x =8sin^24x+8cos^24x =8 neq 0

Passo 3

Como o Wronskiano é diferente de zero para todo x, concluímos que y1 e y2 são linearmente independentes em R. Em equações diferenciais de segunda ordem, duas soluções LI geram toda a família de soluções da equação homogênea.

Passo 4

Portanto, a solução geral de y''+16y=0 é a combinação linear de y1 e y2:
y(x)=C1,y1(x)+C2,y2(x)=C1,(2sin4x)+C2,(-cos4x),
onde C1 e C2 são constantes reais.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1,(2sin4x)-C2cos4x,
com C1,C2inR.

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