Considere a equação diferencial
t^2 y^prime prime-4 t y^prime+6 y=0
(a) Mostre que se t>0, a solução geral da equação pode ser escrita da forma
y(t)=C1 t^2+C2 t^3
(b) É possível acrescentar condições iniciais à equação diferencial, de forma que o problema de valor inicial correspondente tenha infinitas soluções ou não tenha solução? Explique.
(c) Determine a solução geral da equação
t^2 y^prime prime-4 t y^prime+6 y=t^3, t>0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de Euler–Cauchy
t^2y''-4t,y'+6y=0, t>0
e pede em (a) encontrar a solução geral do homogêneo, em (b) discutir se condições iniciais podem gerar infinitas soluções ou nenhuma solução, e em (c) resolver o caso não homogêneo
t^2y''-4t,y'+6y=t^3, t>0
Para isso vamos usar o método da substituição y=t^r no homogêneo e depois um palpite do tipo “ t^k" ou “ t^rln t" para o particular.

Passo 2

Procuramos soluções do homogêneo na forma
y=t^r
Então
y'=r,t^r-1, y''=r(r-1),t^r-2
Substituindo em
t^2y''-4t,y'+6y=0
t^2l[r(r-1)t^r-2r]-4tl[r,t^r-1r]+6,t^r =l[r(r-1)-4r+6r]t^r=0
Logo o polinômio característico é
r(r-1)-4r+6=r^2-5r+6=(r-2)(r-3)=0,
com raízes r=2 e r=3. Portanto a solução geral do homogêneo é
yh(t)=C1,t^2+C2,t^3

Passo 3

Como a equação é singular em t=0, condições iniciais só fazem sentido em t0>0. Se quisermos impor condições em t0>0, o teorema de existência e unicidade garante exatamente uma solução (dois parâmetros C1,C2 fixados por y(t0) e y'(t0)).
Mas se tentarmos impor em t=0, note que para toda solução do tipo C1t^2+C2t^3 vale
y(0)=0, y'(t)=2C1t+3C2t^2;Rightarrow;y'(0)=0
Logo:
  • Se exigirmos y(0)=0 e y'(0)=0, qualquer par (C1,C2) satisfaz, resultando em infinitas soluções.
  • Se exigirmos y(0)=y0neq0 ou y'(0)=y'0neq0, não há como satisfazer, logo nenhuma solução existe.

Passo 4

Para o caso não homogêneo
t^2y''-4t,y'+6y=t^3
fazemos um palpite de Euler. Como t^3 é solução do homogêneo, multiplicamos por ln t e tentamos
yp(t)=A,t^3ln t
Calculamos
yp'=Al(3t^2ln t +t^2r), yp''=Al(6tln t +5tr)
Substituindo na equação dá
t^2yp''-4t,yp'+6yp =Al(6t^3ln t+5t^3r) -4Al(3t^3ln t+t^3r) +6A,t^3ln t =A,t^3
Para igualar a t^3 precisamos A=1. Assim
yp(t)=t^3ln t
A solução geral do não homogêneo é
y(t)=yh(t)+yp(t) =C1t^2+C2t^3+t^3ln t

Resposta

(a) y(t)=C1t^2+C2t^3
(b) Se impusermos condições em t0>0, há sempre solução única. Em t=0 a equação é singular: especificar y(0)=0 e y'(0)=0 dá infinitas soluções; especificar y(0)neq0 ou y'(0)neq0 não tem solução.
(c) y(t)=C1t^2+C2t^3+t^3ln t

Exercícios relacionados