Considere a equação diferencial
(a) Mostre que se
, a solução geral da equação pode ser escrita da forma
(b) É possível acrescentar condições iniciais à equação diferencial, de forma que o problema de valor inicial correspondente tenha infinitas soluções ou não tenha solução? Explique.
(c) Determine a solução geral da equação
(c) Determine a solução geral da equação
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de Euler–Cauchy
e pede em (a) encontrar a solução geral do homogêneo, em (b) discutir se condições iniciais podem gerar infinitas soluções ou nenhuma solução, e em (c) resolver o caso não homogêneo
Para isso vamos usar o método da substituição
no homogêneo e depois um palpite do tipo “
" ou “
" para o particular.
Passo 2
Procuramos soluções do homogêneo na forma
Então
Substituindo em
dá
Logo o polinômio característico é
com raízes
e
. Portanto a solução geral do homogêneo é
Passo 3
Como a equação é singular em
, condições iniciais só fazem sentido em
. Se quisermos impor condições em
, o teorema de existência e unicidade garante exatamente uma solução (dois parâmetros
fixados por
e
).
Mas se tentarmos impor em , note que para toda solução do tipo
vale
Mas se tentarmos impor em
Logo:
- Se exigirmos
e , qualquer par satisfaz, resultando em infinitas soluções. - Se exigirmos
ou , não há como satisfazer, logo nenhuma solução existe.
Passo 4
Para o caso não homogêneo
fazemos um palpite de Euler. Como
é solução do homogêneo, multiplicamos por
e tentamos
Calculamos
Substituindo na equação dá
Para igualar a
precisamos
. Assim
A solução geral do não homogêneo é
Resposta
(a)
(b) Se impusermos condições em , há sempre solução única. Em
a equação é singular: especificar
e
dá infinitas soluções; especificar
ou
não tem solução.
(c)
(b) Se impusermos condições em
(c)