Considere a equação diferencial
Se
é solução da equação homogênea associada, procure uma solução da forma
Então
satisfaz
Fazendo
, obtemos uma EDO de primeira ordem.
Resolva:
Resolva:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem não-homogênea
e informa uma solução da equação homogênea associada:
O que se pede: usar a substituição
e, com a redução de ordem (fazendo
), resolver a EDO obtida e, finalmente, encontrar a solução geral
da equação dada.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- Coeficiente do
é (não constante), por isso é conveniente dividir por para pôr na forma padrão. - A solução conhecida da homogênea é
. - Vamos definir
e resolver a EDO de primeira ordem resultante para , integrar para obter e obter .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
dividindo por
:
Logo
Passo 3
Fazer a substituição
. Calculamos as derivadas necessárias:
(Substituição direta: derivada de
dá
; derivando de novo dá
.)
Substituindo na equação padrão
(já com
acima) obtemos
Agora agrupamos os termos em
,
e
. Note que
é solução da homogênea; portanto os termos em
(sem derivada) se cancelam — vou mostrar isso explicitamente:
- Coeficiente de
é . - Coeficiente de
é . - Coeficiente de
é .
Verificação do cancelamento do termo em
: usando
e
,
Portanto sobra a equação (conforme enunciado)
Calculamos explicitamente o coeficiente de
:
Assim a equação para
fica
Passo 4
Fazer
. Então
e a equação de segunda ordem reduz-se a uma EDO de primeira ordem para
:
Colocar na forma linear padrão
. Dividindo por
:
Aqui
Passo 5
Calcular o fator integrante
.
Precisamos integrar a função racional . Fazemos divisão/partes:
Precisamos integrar a função racional
Agora decompor
em frações simples:
Resolvend o sistema dá
,
. Assim
Integrando:
Portanto
(Usarei
na forma
.)
Observação: como a EDO está escrita com coeficiente
, o fator integrante é
, que deu
como mostrado.
Passo 6
Multiplicando a EDO padrão por
obtemos uma forma exata:
Calcular o lado direito: usando
,
Ops — atenção: houve um erro de sinal/colocação. Voltando ao passo anterior: reescrevendo com cuidado, na forma em que tínhamos:
Fator integrante para esta equação é
como já obtivemos. Multiplicando ambos os lados por
:
Agora calculemos o produto do lado direito usando
:
Mas esse resultado não bate com o caminho anterior em que chegamos a uma forma muito mais simples. Isso indica que trocamos o sinal do expoente na definição do fator integrante ao longo do raciocínio. Para evitar confusão, voltamos a partir da EDO na forma
É mais direto trabalhar com essa forma: o fator integrante
para a equação escrita como
deve satisfazer
. Assim
portanto
(Isto é o inverso do valor que tínhamos antes; este último é o correto para a forma com sinal negativo antes da integral.) Usando esse
, multiplicando a EDO em forma padrão,
Agora calcule o lado direito com
:
Este resultado é simples e coincide com a forma usada anteriormente no raciocínio bem-sucedido.
Assim
Integrando ambos os lados:
porque
Portanto
Expandindo,
Passo 7
Integrar
. Separamos as parcelas:
onde
é a constante que apareceu ao integrar e
é outra constante de integração.
Agora encontramos antiderivadas explicitamente:
- Para
procuramos uma primitiva do tipo . Fazendo o cálculo (igual ao procedimento mostrado no raciocínio), encontra-se que uma primitiva é
porque diferenciando esse termo obtém-se justamente
.
- Para
podemos testar uma primitiva do tipo . Tomando verifica-se diretamente que
Logo uma primitiva é
.
Assim
Passo 8
Voltar para
. Multiplicando:
Simplificando os fatores
:
Renomeando as constantes arbitrárias (por exemplo
e
permanece), obtemos a solução geral da EDO original.