Considere a equação diferencial
y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=g(t) .
Se y_{1}(t) é solução da equação homogênea associada, procure uma solução da forma
y(t)=y_{1}(t) v(t) .
Então v satisfaz
y_{1} v^{\prime \prime}+\left(2 y_{1}^{\prime}+p y_{1}\right) v^{\prime}=g(t)
Fazendo v^{\prime}=u, obtemos uma EDO de primeira ordem.
Resolva:
t y^{\prime \prime}-(1+t) y^{\prime}+y=t^{2} e^{2 t}, \quad t>0
y_{1}(t)=1+t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem não-homogênea
t\,y^{\prime\prime}-(1+t)\,y^{\prime}+y=t^{2}e^{2t},\qquad t>0,
e informa uma solução da equação homogênea associada:
y_{1}(t)=1+t.
O que se pede: usar a substituição y(t)=y_{1}(t)\,v(t) e, com a redução de ordem (fazendo v'=u), resolver a EDO obtida e, finalmente, encontrar a solução geral y(t) da equação dada.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Coeficiente do y^{\prime\prime} é t (não constante), por isso é conveniente dividir por t para pôr na forma padrão.
  • A solução conhecida da homogênea é \,y_{1}(t)=1+t.
  • Vamos definir v'=u e resolver a EDO de primeira ordem resultante para u, integrar para obter v e obter y=(1+t)v.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão y^{\prime\prime}+p(t)y^{\prime}+q(t)y=g(t) dividindo por t:
y^{\prime\prime}-\frac{1+t}{t}\,y^{\prime}+\frac{1}{t}\,y=t e^{2t}.
Logo
p(t)=-\frac{1+t}{t}=-\frac{1}{t}-1,\qquad q(t)=\frac{1}{t},\qquad g(t)=t e^{2t}.

Passo 3

Fazer a substituição y(t)=y_{1}(t)\,v(t)=(1+t)v(t). Calculamos as derivadas necessárias:
y'=(1+t)v'+1\cdot v=(1+t)v'+v,
y''=(1+t)v''+2v'.
(Substituição direta: derivada de (1+t)v (1+t)v'+v; derivando de novo dá (1+t)v''+2v'.)
Substituindo na equação padrão y''+p y'+q y=g (já com p,q,g acima) obtemos
(1+t)v''+2v' + p\big((1+t)v'+v\big) + q(1+t)v = g.
Agora agrupamos os termos em v'', v' e v. Note que y_{1} é solução da homogênea; portanto os termos em v (sem derivada) se cancelam — vou mostrar isso explicitamente:
  • Coeficiente de v'' é 1+t.
  • Coeficiente de v' é 2 + p(1+t).
  • Coeficiente de v é p\cdot 1 + q(1+t).
Verificação do cancelamento do termo em v: usando p=-\dfrac{1+t}{t} e q=\dfrac{1}{t},
p\cdot 1 + q(1+t)=-\frac{1+t}{t} + \frac{1+t}{t}=0.
Portanto sobra a equação (conforme enunciado)
(1+t)\,v''+\big(2+\!p(1+t)\big)\,v' = g(t).
Calculamos explicitamente o coeficiente de v':
2 + p(1+t)=2 -\frac{1+t}{t}(1+t)=2-\frac{(1+t)^{2}}{t}=\frac{2t-(1+t)^{2}}{t}=\frac{-1-t^{2}}{t}=-\frac{1+t^{2}}{t}.
Assim a equação para v fica
(1+t)\,v''-\frac{1+t^{2}}{t}\,v' = t e^{2t}.

Passo 4

Fazer v'=u. Então v''=u' e a equação de segunda ordem reduz-se a uma EDO de primeira ordem para u:
(1+t)\,u'-\frac{1+t^{2}}{t}\,u = t e^{2t}.
Colocar na forma linear padrão u' + a(t) u = b(t). Dividindo por 1+t:
u' - \frac{1+t^{2}}{t(1+t)}\,u = \frac{t e^{2t}}{1+t}.
Aqui
a(t)=-\frac{1+t^{2}}{t(1+t)},\qquad b(t)=\frac{t e^{2t}}{1+t}.

Passo 5

Calcular o fator integrante \mu(t)=\exp\!\big(-\!\int a(t)\,dt\big)=\exp\!\Big(-\int -\frac{1+t^{2}}{t(1+t)}dt\Big)=\exp\!\Big(\int\frac{1+t^{2}}{t(1+t)}dt\Big).
Precisamos integrar a função racional \dfrac{1+t^{2}}{t(1+t)}. Fazemos divisão/partes:
\frac{1+t^{2}}{t(1+t)}=1+\frac{1-t}{t(1+t)}.
Agora decompor \dfrac{1-t}{t(1+t)} em frações simples:
\frac{1-t}{t(1+t)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{1+t}.
Resolvend o sistema dá A=1, B=-2. Assim
\frac{1+t^{2}}{t(1+t)}=1+\frac{1}{t}-\frac{2}{1+t}.
Integrando:
\int\frac{1+t^{2}}{t(1+t)}dt=\int\Big(1+\frac{1}{t}-\frac{2}{1+t}\Big)dt=t+\ln t-2\ln(1+t)+C.
Portanto
\mu(t)=\exp\big(t+\ln t-2\ln(1+t)\big)=e^{t}\,t\,(1+t)^{-2}.
(Usarei \mu na forma \mu(t)=t e^{t}/(1+t)^{2}.)
Observação: como a EDO está escrita com coeficiente u' -\frac{1+t^{2}}{t(1+t)}u, o fator integrante é \mu=\exp\!\big(-\int -\frac{1+t^{2}}{t(1+t)}dt\big)=\exp(\text{o integral acima}), que deu \mu como mostrado.

Passo 6

Multiplicando a EDO padrão por \mu obtemos uma forma exata:
\big(\mu u\big)'=\mu\,\frac{t e^{2t}}{1+t}.
Calcular o lado direito: usando \mu=\dfrac{t e^{t}}{(1+t)^{2}},
\mu\cdot\frac{t e^{2t}}{1+t}=\frac{t e^{t}}{(1+t)^{2}}\cdot\frac{t e^{2t}}{1+t}=\frac{t^{2}e^{3t}}{(1+t)^{3}}.
Ops — atenção: houve um erro de sinal/colocação. Voltando ao passo anterior: reescrevendo com cuidado, na forma em que tínhamos:
u' - \frac{1+t^{2}}{t(1+t)}u = \frac{t e^{2t}}{1+t}.
Fator integrante para esta equação é
\tilde\mu(t)=\exp\!\Big(-\int -\frac{1+t^{2}}{t(1+t)}dt\Big)=\exp\!\Big(\int\frac{1+t^{2}}{t(1+t)}dt\Big)=e^{t}t(1+t)^{-2},
como já obtivemos. Multiplicando ambos os lados por \tilde\mu:
\big(\tilde\mu\,u\big)'=\tilde\mu\cdot\frac{t e^{2t}}{1+t}.
Agora calculemos o produto do lado direito usando \tilde\mu=\dfrac{t e^{t}}{(1+t)^{2}}:
\tilde\mu\cdot\frac{t e^{2t}}{1+t}=\frac{t e^{t}}{(1+t)^{2}}\cdot\frac{t e^{2t}}{1+t}=\frac{t^{2}e^{3t}}{(1+t)^{3}}.
Mas esse resultado não bate com o caminho anterior em que chegamos a uma forma muito mais simples. Isso indica que trocamos o sinal do expoente na definição do fator integrante ao longo do raciocínio. Para evitar confusão, voltamos a partir da EDO na forma
(1+t)u' - \frac{1+t^{2}}{t}u = t e^{2t}.
É mais direto trabalhar com essa forma: o fator integrante \mu para a equação escrita como
u' - \frac{1+t^{2}}{t(1+t)}u = \frac{t e^{2t}}{1+t}
deve satisfazer \mu' = -\dfrac{1+t^{2}}{t(1+t)}\mu. Assim
\ln\mu = -\int\frac{1+t^{2}}{t(1+t)}dt = -\Big(t+\ln t-2\ln(1+t)\Big),
portanto
\mu(t)=e^{-t}\,t^{-1}\,(1+t)^{2}=\frac{(1+t)^{2}e^{-t}}{t}.
(Isto é o inverso do valor que tínhamos antes; este último é o correto para a forma com sinal negativo antes da integral.) Usando esse \mu, multiplicando a EDO em forma padrão,
\big(\mu u\big)'=\mu\cdot\frac{t e^{2t}}{1+t}.
Agora calcule o lado direito com \mu=\dfrac{(1+t)^{2}e^{-t}}{t}:
\mu\cdot\frac{t e^{2t}}{1+t}=\frac{(1+t)^{2}e^{-t}}{t}\cdot\frac{t e^{2t}}{1+t}=(1+t)e^{t}.
Este resultado é simples e coincide com a forma usada anteriormente no raciocínio bem-sucedido.
Assim
(\mu u)'=(1+t)e^{t}.
Integrando ambos os lados:
\mu u=\int(1+t)e^{t}dt + C = t e^{t} + C,
porque \int(1+t)e^{t}dt = \int e^{t}dt + \int t e^{t}dt = e^{t} + (t-1)e^{t} = t e^{t}.
Portanto
u=\frac{t e^{t}+C}{\mu}=\big(t e^{t}+C\big)\frac{t e^{t}}{(1+t)^{2}}.
Expandindo,
u=v'=\frac{t^{2}e^{2t}}{(1+t)^{2}} + C\cdot\frac{t e^{t}}{(1+t)^{2}}.

Passo 7

Integrar v'=u. Separamos as parcelas:
v(t)=\int \frac{t^{2}e^{2t}}{(1+t)^{2}}dt + C\int\frac{t e^{t}}{(1+t)^{2}}dt + C_{2},
onde C é a constante que apareceu ao integrar e C_{2} é outra constante de integração.
Agora encontramos antiderivadas explicitamente:
  1. Para \displaystyle\int \frac{t^{2}e^{2t}}{(1+t)^{2}}dt procuramos uma primitiva do tipo \dfrac{A(t)e^{2t}}{1+t}. Fazendo o cálculo (igual ao procedimento mostrado no raciocínio), encontra-se que uma primitiva é
\frac{t-1}{2}\cdot\frac{e^{2t}}{1+t},
porque diferenciando esse termo obtém-se justamente \dfrac{t^{2}e^{2t}}{(1+t)^{2}}.
  1. Para \displaystyle\int\frac{t e^{t}}{(1+t)^{2}}dt podemos testar uma primitiva do tipo \dfrac{B(t)e^{t}}{1+t}. Tomando B(t)=1 verifica-se diretamente que
\frac{d}{dt}\left(\frac{e^{t}}{1+t}\right)=\frac{t e^{t}}{(1+t)^{2}}.
Logo uma primitiva é \dfrac{e^{t}}{1+t}.
Assim
v(t)=\frac{t-1}{2}\cdot\frac{e^{2t}}{1+t} + C\cdot\frac{e^{t}}{1+t} + C_{2}.

Passo 8

Voltar para y(t)=y_{1}(t)\,v(t)=(1+t)v(t). Multiplicando:
y(t)=(1+t)\left(\frac{t-1}{2}\cdot\frac{e^{2t}}{1+t} + C\cdot\frac{e^{t}}{1+t} + C_{2}\right).
Simplificando os fatores (1+t):
y(t)=\frac{t-1}{2}e^{2t} + C\,e^{t} + C_{2}(1+t).
Renomeando as constantes arbitrárias (por exemplo C_{1}=C e C_{2} permanece), obtemos a solução geral da EDO original.

Resposta

y(t)=\frac{t-1}{2}\,e^{2t}+C_{1}\,e^{t}+C_{2}(1+t)

Exercícios relacionados