Considere a equação diferencial
y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=g(t) .
Se y_{1}(t) é solução da equação homogênea associada, procure uma solução da forma
y(t)=y_{1}(t) v(t) .
Então v satisfaz
y_{1} v^{\prime \prime}+\left(2 y_{1}^{\prime}+p y_{1}\right) v^{\prime}=g(t)
Fazendo v^{\prime}=u, obtemos uma EDO de primeira ordem.
Resolva:
t^{2} y^{\prime \prime}-2 t y^{\prime}+2 y=4 t^{2}, \quad t>0
y_{1}(t)=t

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e uma solução da homogênea:
t^{2}y''-2t y'+2y=4t^{2},\qquad t>0,
e diz que uma solução da homogênea associada é y_{1}(t)=t. O que se pede é encontrar uma solução geral da equação usando a ansatz
y(t)=y_{1}(t)\,v(t)=t\,v(t).
Informações relevantes que vamos usar (tirei estes valores diretamente do enunciado):
  • A equação pode ser colocada na forma padrão dividindo por t^{2}:
y''-\frac{2}{t}y'+\frac{2}{t^{2}}y=4.
  • Portanto, os coeficientes na forma y''+p(t)y'+q(t)y=g(t) são
p(t)=-\frac{2}{t},\qquad q(t)=\frac{2}{t^{2}},\qquad g(t)=4.
  • A função dada é y_{1}(t)=t.

Passo 2

Explicando a ideia (com calma): a substituição y=y_{1}v é chamada de redução de ordem. Serve para transformar a EDO de segunda ordem numa equação mais simples para v. Vou derivar as fórmulas necessárias passo a passo (não pule nada).
Calcule y' e y'' a partir de y=t v(t):
y'=(t v)^{\prime}=v + t v',
y''=(v + t v')' = v' + v' + t v'' = 2v' + t v''.
Agora substitui y,y',y'' na equação na forma padrão \,y''+p y'+q y=g\,. Usando a forma que o enunciado também forneceu (é equivalente ao que se obtém substituindo):
y_{1} v''+\bigl(2y_{1}'+p y_{1}\bigr)v' = g(t).
Vamos calcular o coeficiente \,2y_{1}'+p y_{1}. Com y_{1}=t e y_{1}'=1 e p(t)=-\dfrac{2}{t},
2y_{1}'+p y_{1}=2\cdot 1 +\left(-\frac{2}{t}\right)\cdot t =2-2=0.
Logo a equação para v fica muito simples:
t\,v''+0\cdot v' = g(t)=4,
ou seja
t\,v''=4.

Passo 3

Agora fazemos a redução de ordem adicional indicada: seja
u(t)=v'(t).
Então u'(t)=v''(t). Substituindo em t v''=4 obtemos a EDO de primeira ordem para u:
t\,u'(t)=4 \quad\Longrightarrow\quad u'(t)=\frac{4}{t}.
Isto é uma EDO muito simples: a derivada de u é 4/t. Integramos com respeito a t:
u(t)=\int \frac{4}{t}\,dt = 4\ln t + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Aqui usei a regra básica \int \dfrac{1}{t}\,dt=\ln t válida para t>0 (domínio do problema).

Passo 4

Agora recuperamos v integrando u=v':
v(t)=\int u(t)\,dt=\int\bigl(4\ln t + C_{1}\bigr)\,dt.
Para integrar \int \ln t\,dt fazemos integração por partes (explico rapidinho): escolha a=\ln t e db=dt. Então da=\dfrac{1}{t}dt e b=t. A fórmula dá
\int \ln t\,dt = t\ln t - \int t\cdot\frac{1}{t}\,dt = t\ln t - t.
Usando isso,
v(t)=4\bigl(t\ln t - t\bigr) + C_{1}t + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Podemos expandir:
v(t)=4t\ln t -4t + C_{1}t + C_{2}.

Passo 5

Finalmente voltamos à função y(t)=t\,v(t). Multiplicando por t temos:
y(t)=t\cdot\bigl(4t\ln t -4t + C_{1}t + C_{2}\bigr).
Distribuindo,
y(t)=4t^{2}\ln t -4t^{2} + C_{1}t^{2} + C_{2}t.
Agora podemos combinar constantes arbitrárias: as constantes multiplicando t^{2} e t são livres. Denotando C e D constantes arbitrárias (reais), uma forma mais limpa da solução geral é
y(t)=4t^{2}\ln t + C t^{2} + D t,\qquad t>0.
Uma observação para ficar tranquilo: as funções t e t^{2} são soluções da homogênea (isto é consistente com a parte homogênea), e o termo 4t^{2}\ln t é uma solução particular da equação não homogênea — por isso somamos tudo.

Resposta

y(t)=4t^{2}\ln t + C t^{2} + D t,\qquad t>0.

Exercícios relacionados