Considere a equação diferencial
Se
é solução da equação homogênea associada, procure uma solução da forma
Então
satisfaz
Fazendo
, obtemos uma EDO de primeira ordem.
Resolva:
Resolva:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e uma solução da homogênea:
e diz que uma solução da homogênea associada é
. O que se pede é encontrar uma solução geral da equação usando a ansatz
Informações relevantes que vamos usar (tirei estes valores diretamente do enunciado):
- A equação pode ser colocada na forma padrão dividindo por
:
- Portanto, os coeficientes na forma
são
- A função dada é
.
Passo 2
Explicando a ideia (com calma): a substituição
é chamada de redução de ordem. Serve para transformar a EDO de segunda ordem numa equação mais simples para
. Vou derivar as fórmulas necessárias passo a passo (não pule nada).
Calcule
e
a partir de
:
Agora substitui
na equação na forma padrão
. Usando a forma que o enunciado também forneceu (é equivalente ao que se obtém substituindo):
Vamos calcular o coeficiente
. Com
e
e
,
Logo a equação para
fica muito simples:
ou seja
Passo 3
Agora fazemos a redução de ordem adicional indicada: seja
Então
. Substituindo em
obtemos a EDO de primeira ordem para
:
Isto é uma EDO muito simples: a derivada de
é
. Integramos com respeito a
:
onde
é constante de integração. Aqui usei a regra básica
válida para
(domínio do problema).
Passo 4
Agora recuperamos
integrando
:
Para integrar
fazemos integração por partes (explico rapidinho): escolha
e
. Então
e
. A fórmula dá
Usando isso,
onde
é outra constante de integração. Podemos expandir:
Passo 5
Finalmente voltamos à função
. Multiplicando por
temos:
Distribuindo,
Agora podemos combinar constantes arbitrárias: as constantes multiplicando
e
são livres. Denotando
e
constantes arbitrárias (reais), uma forma mais limpa da solução geral é
Uma observação para ficar tranquilo: as funções
e
são soluções da homogênea (isto é consistente com a parte homogênea), e o termo
é uma solução particular da equação não homogênea — por isso somamos tudo.