Encontre uma solução particular da EDO.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\frac{e^{t}}{1+t^{2}}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária não-homogênea de segunda ordem
y''-2y'+y=\frac{e^{t}}{1+t^{2}}.
O que é pedido: encontrar uma solução particular y_{p}(t) dessa EDO (ou seja, qualquer função y_{p} que satisfaça a igualdade acima).
Informações relevantes dadas:
  • O lado direito é g(t)=\dfrac{e^{t}}{1+t^{2}}.
  • A equação é linear com coeficientes constantes e ordem 2.

Passo 2

Escolher uma estratégia: a técnica de coeficientes indeterminados não é prática aqui porque g(t) não é combinação simples de polinômios, exponenciais ou senos/cossenos. Portanto vamos usar o método da variação de constantes (variação de parâmetros). Antes disso precisamos das soluções da equação homogênea associada
y''-2y'+y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^{2}-2r+1=0.
Resolver:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad r=1\\ \text{(raiz dupla)}.
Para uma raiz dupla r=1, um sistema fundamental de soluções da homogênea é
y_{1}(t)=e^{t},\qquad y_{2}(t)=t e^{t}.
Essas duas são linearmente independentes e formam uma base do espaço de soluções da homogênea.

Passo 3

Apresentar a fórmula de variação de parâmetros (resumo didático):
  • Procuramos y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t), onde u_{1},u_{2} são funções a determinar.
  • Impomos as condições auxiliares
u_{1}'(t)y_{1}(t)+u_{2}'(t)y_{2}(t)=0
e
u_{1}'(t)y_{1}'(t)+u_{2}'(t)y_{2}'(t)=g(t),
onde g(t)=\dfrac{e^{t}}{1+t^{2}}. Essas duas equações determinam u_{1}' e u_{2}'.
  • Usando a notação do Wronskiano W(t)=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}, as fórmulas fechadas são
u_{1}'(t)=-\frac{g(t)\,y_{2}(t)}{W(t)},\qquad u_{2}'(t)=\frac{g(t)\,y_{1}(t)}{W(t)}.

Passo 4

Calcular o Wronskiano com y_{1}=e^{t} e y_{2}=t e^{t}. Primeiro as derivadas:
y_{1}'(t)=e^{t},\qquad y_{2}'(t)=e^{t}+t e^{t}=e^{t}(1+t).
Logo
W(t)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=e^{t}\cdot e^{t}(1+t)-e^{t}\cdot t e^{t}=e^{2t}(1+t-t)=e^{2t}.

Passo 5

Calcular u_{1}' e u_{2}' usando as fórmulas:
u_{1}'(t)=-\frac{g(t)\,y_{2}(t)}{W(t)} =-\frac{\dfrac{e^{t}}{1+t^{2}}\cdot t e^{t}}{e^{2t}} =-\frac{t}{1+t^{2}}.
u_{2}'(t)=\frac{g(t)\,y_{1}(t)}{W(t)} =\frac{\dfrac{e^{t}}{1+t^{2}}\cdot e^{t}}{e^{2t}} =\frac{1}{1+t^{2}}.
Repare que as potências de e^{t} cancelaram de forma conveniente.

Passo 6

Integrar para obter u_{1} e u_{2}.
  • Para u_{1}:
u_{1}(t)=\int u_{1}'(t)\,dt=\int -\frac{t}{1+t^{2}}\,dt.
Fazer a substituição ou reconhecer que a derivada de 1+t^{2} é 2t, então
\int -\frac{t}{1+t^{2}}\,dt=-\frac{1}{2}\ln(1+t^{2}) + C_{1}.
  • Para u_{2}:
u_{2}(t)=\int u_{2}'(t)\,dt=\int \frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\arctan(t)+C_{2}.
Em variação de parâmetros podemos escolher as constantes de integração C_{1},C_{2} iguais a zero porque termos constantes multiplicando y_{1} ou y_{2} representam combinações das soluções homogêneas (que já estão cobertas pela solução geral da homogênea). Portanto tomamos
u_{1}(t)=-\frac{1}{2}\ln(1+t^{2}),\qquad u_{2}(t)=\arctan(t).

Passo 7

Construir a solução particular y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituindo:
y_{p}(t)=\left(-\frac{1}{2}\ln(1+t^{2})\right)e^{t}+\bigl(\arctan(t)\bigr)\bigl(t e^{t}\bigr).
Fatorando e^{t} para simplificar:
y_{p}(t)=e^{t}\left(-\frac{1}{2}\ln(1+t^{2})+t\arctan(t)\right).
Essa função é uma solução particular da EDO dada.

Resposta

y_{p}(t)=e^{t}\left(-\dfrac{1}{2}\ln(1+t^{2})+t\arctan(t)\right)

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