Encontre uma solução particular da EDO. y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\frac{e^{t}}{1+t^{2}}
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária não-homogênea de segunda ordem
y''-2y'+y=\frac{e^{t}}{1+t^{2}}.
O que é pedido: encontrar uma solução particular y_{p}(t) dessa EDO (ou seja, qualquer função y_{p} que satisfaça a igualdade acima).
Informações relevantes dadas:
O lado direito é g(t)=\dfrac{e^{t}}{1+t^{2}}.
A equação é linear com coeficientes constantes e ordem 2.
Passo 2
Escolher uma estratégia: a técnica de coeficientes indeterminados não é prática aqui porque g(t) não é combinação simples de polinômios, exponenciais ou senos/cossenos. Portanto vamos usar o método da variação de constantes (variação de parâmetros). Antes disso precisamos das soluções da equação homogênea associada
y''-2y'+y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
Em variação de parâmetros podemos escolher as constantes de integração C_{1},C_{2} iguais a zero porque termos constantes multiplicando y_{1} ou y_{2} representam combinações das soluções homogêneas (que já estão cobertas pela solução geral da homogênea). Portanto tomamos