Equações da forma
, a variável
não aparece explicitamente.
Faça
, então
Logo,
Assim,
que de primeira ordem.
Resolva:
(d)
Faça
Resolva:
(d)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que se resolva (ou seja, encontre a solução geral). Informações relevantes que temos:
- A incógnita é
. - As derivadas são em relação a
: e . - A equação pode ser vista como envolvendo apenas
e suas derivadas; não há aparecendo explicitamente no lado direito como variável independente.
O objetivo: obter a solução geral
(pelo menos de forma implícita), explicando cada passo.
Passo 2
Usamos a substituição clássica quando
não aparece explicitamente: faça
Explico por que isso ajuda: queremos reduzir a ordem da equação transformando a derivada segunda em algo com derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia,
então
. Agora substituímos
e
na equação original.
Passo 3
Substituindo
e
em
obtemos
Agora note a seguinte identidade útil: calcule a derivada em relação a
de
:
que é exatamente o lado esquerdo da equação acima. Logo podemos reescrever a equação como
Passo 4
Integrando a última igualdade em relação a
temos
onde
é constante de integração. (Observação prática: aqui integrámos em
porque expressámos toda a equação como derivada em relação a
.)
Passo 5
Voltando a
, da relação obtida
temos
Tomando raiz quadrada (introduzindo o sinal
que corresponde ao sentido da variação de
),
Antes de seguir: note que
é impossível porque no original, se
o lado esquerdo seria
enquanto o direito é
; portanto a solução nunca atinge
. Assim
está bem definida para as soluções (com domínio adequado).
Passo 6
Agora separamos variáveis e integramos. Separe as variáveis:
Para integrar o lado esquerdo, faça a substituição
. Então
e
. O integrando fica
Integramos termo a termo:
onde
é outra constante de integração. Voltando para
, obtemos a relação implícita
Passo 7
Podemos deixar a solução nessa forma implícita, que é perfeitamente aceitável como solução geral. Para clareza, escrevendo explicitamente a constante do lado direito como uma única constante
, a solução geral implícita é
com
constantes arbitrárias (e lembrando que
não atinge zero no domínio da solução). O sinal
corresponde às duas famílias de soluções monotônicas (crescentes ou decrescentes).
Resposta
com
constantes arbitrárias.