Equações da forma y^{\prime \prime}=f\left(y, y^{\prime}\right), a variável t não aparece explicitamente.
Faça v=y^{\prime}, então
\frac{d v}{d t}=f(y, v)
Logo,
\frac{d v}{d t}=\frac{d v}{d y} \frac{d y}{d t}=v \frac{d v}{d y}
Assim,
v \frac{d v}{d y}=f(y, v)
que de primeira ordem.
Resolva:
(d) 2 y^{2} y^{\prime \prime}+2 y\left(y^{\prime}\right)^{2}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2y^{2}y^{\prime\prime}+2y\bigl(y^{\prime}\bigr)^{2}=1,
e pede que se resolva (ou seja, encontre a solução geral). Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é y=y(t).
  • As derivadas são em relação a t: y^{\prime}=dy/dt e y^{\prime\prime}=d^{2}y/dt^{2}.
  • A equação pode ser vista como envolvendo apenas y e suas derivadas; não há t aparecendo explicitamente no lado direito como variável independente.
O objetivo: obter a solução geral y(t) (pelo menos de forma implícita), explicando cada passo.

Passo 2

Usamos a substituição clássica quando t não aparece explicitamente: faça
v = y^{\prime}=\frac{dy}{dt}.
Explico por que isso ajuda: queremos reduzir a ordem da equação transformando a derivada segunda em algo com derivada de v em relação a y. Usando a regra da cadeia,
\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dt}=v\frac{dv}{dy},
então y^{\prime\prime}=\dfrac{dv}{dt}=v\dfrac{dv}{dy}. Agora substituímos y^{\prime\prime} e y^{\prime} na equação original.

Passo 3

Substituindo y^{\prime\prime}=v\,dv/dy e y^{\prime}=v em \;2y^{2}y^{\prime\prime}+2y(y^{\prime})^{2}=1\; obtemos
2y^{2}\,v\frac{dv}{dy}+2y\,v^{2}=1.
Agora note a seguinte identidade útil: calcule a derivada em relação a y de y^{2}v^{2}:
\frac{d}{dy}\bigl(y^{2}v^{2}\bigr)=2y\,v^{2}+y^{2}\cdot 2v\frac{dv}{dy}=2y^{2}v\frac{dv}{dy}+2y\,v^{2},
que é exatamente o lado esquerdo da equação acima. Logo podemos reescrever a equação como
\frac{d}{dy}\bigl(y^{2}v^{2}\bigr)=1.

Passo 4

Integrando a última igualdade em relação a y temos
y^{2}v^{2}= \int 1\,dy = y + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. (Observação prática: aqui integrámos em y porque expressámos toda a equação como derivada em relação a y.)

Passo 5

Voltando a v=\dfrac{dy}{dt}, da relação obtida
y^{2}\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}=y+C_{1},
temos
\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}=\frac{y+C_{1}}{y^{2}}.
Tomando raiz quadrada (introduzindo o sinal \pm que corresponde ao sentido da variação de y),
\frac{dy}{dt}= \pm \frac{\sqrt{y+C_{1}}}{y}.
Antes de seguir: note que y=0 é impossível porque no original, se y=0 o lado esquerdo seria 0 enquanto o direito é 1; portanto a solução nunca atinge y=0. Assim \dfrac{\sqrt{y+C_{1}}}{y} está bem definida para as soluções (com domínio adequado).

Passo 6

Agora separamos variáveis e integramos. Separe as variáveis:
\frac{y}{\sqrt{y+C_{1}}}\,dy=\pm dt.
Para integrar o lado esquerdo, faça a substituição u=y+C_{1}. Então du=dy e y=u-C_{1}. O integrando fica
\frac{y}{\sqrt{y+C_{1}}}\,dy=\frac{u-C_{1}}{\sqrt{u}}\,du=\bigl(u^{1/2}-C_{1}u^{-1/2}\bigr)\,du.
Integramos termo a termo:
\int\bigl(u^{1/2}-C_{1}u^{-1/2}\bigr)\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}-2C_{1}u^{1/2}+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Voltando para u=y+C_{1}, obtemos a relação implícita
\frac{2}{3}(y+C_{1})^{3/2}-2C_{1}(y+C_{1})^{1/2}=\pm t + C_{2}.

Passo 7

Podemos deixar a solução nessa forma implícita, que é perfeitamente aceitável como solução geral. Para clareza, escrevendo explicitamente a constante do lado direito como uma única constante C_{2}, a solução geral implícita é
\frac{2}{3}(y+C_{1})^{3/2}-2C_{1}(y+C_{1})^{1/2}=\pm t + C_{2},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias (e lembrando que y(t) não atinge zero no domínio da solução). O sinal \pm corresponde às duas famílias de soluções monotônicas (crescentes ou decrescentes).

Resposta

\frac{2}{3}(y+C_{1})^{3/2}-2C_{1}(y+C_{1})^{1/2}=\pm t + C_{2},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

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