Considere a equação diferencial de primeira ordem dy/dx + 2y = 10, e assinale a alternativa que contém a correta solução:
Alternativa 1: y = 5 + c.
Alternativa 2: y = 5e^(2x) + c.
Alternativa 3: y = 5 + ce^(-2x).
Alternativa 4: y = e(-x2) + 5c.
Alternativa 5: y = 5 + ce^(2x).
Alternativa 1: y = 5 + c.
Alternativa 2: y = 5e^(2x) + c.
Alternativa 3: y = 5 + ce^(-2x).
Alternativa 4: y = e(-x2) + 5c.
Alternativa 5: y = 5 + ce^(2x).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que estamos vendo aqui. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que é assim:
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. No formato geral
, aqui temos
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por
.
Passo 3
Calculando o fator integrante:
Esse fator ajuda a transformar a equação diferencial em algo que podemos integrar facilmente.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a parte da esquerda da equação em uma derivada do produto
.
Passo 5
Agora, reescrevemos a equação assim:
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
:
Esse é o padrão geral da solução da equação diferencial dada.
Resposta
A alternativa correta é a Alternativa 3:
.