Considere a equação diferencial de primeira ordem dy/dx + 2y = 10, e assinale a alternativa que contém a correta solução:
Alternativa 1: y = 5 + c.
Alternativa 2: y = 5e^(2x) + c.
Alternativa 3: y = 5 + ce^(-2x).
Alternativa 4: y = e(-x2) + 5c.
Alternativa 5: y = 5 + ce^(2x).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que estamos vendo aqui. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que é assim: dydx + 2y = 10. Nosso objetivo é encontrar a função y que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. No formato geral dydx + P(x)y = Q(x), aqui temos P(x) = 2 e Q(x) = 10. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por e^integral P(x)dx.

Passo 3

Calculando o fator integrante:
e^integral 2,dx = e^2x
Esse fator ajuda a transformar a equação diferencial em algo que podemos integrar facilmente.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^2xdydx + 2e^2xy = 10e^2x
Isso transforma a parte da esquerda da equação em uma derivada do produto y cdot e^2x.

Passo 5

Agora, reescrevemos a equação assim:
ddx(y cdot e^2x) = 10e^2x
Integramos ambos os lados em relação a x:
y cdot e^2x = integral 10e^2x,dx
y cdot e^2x = 5e^2x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos y:
y = 5 + Ce^-2x
Esse é o padrão geral da solução da equação diferencial dada.

Resposta

A alternativa correta é a Alternativa 3: y = 5 + ce^-2x.

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