Verifique para quais valores de x existe o triângulo ABC, sendo A (x,1), B (x+1,2) e C (0,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de geometria analítica onde precisamos descobrir para quais valores de $ x $ existe um triângulo formado pelos pontos $ A(x,1) $, $ B(x+1,2) $ e $ C(0,3) $. O que vamos usar aqui é a fórmula da área de um triângulo usando coordenadas no plano. A ideia é verificar quando esses três pontos não estão todos numa linha reta, ou seja, quando a área do triângulo não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da área de um triângulo formado por três pontos no plano cartesiano. Se os pontos são $ A(x_1, y_1) $, $ B(x_2, y_2) $ e $ C(x_3, y_3) $, a área $ \Delta $ é dada por:
A(x1, y1)
No nosso caso, temos:
  • $ A(x, 1) $ → $ x_1 = x $, $ y_1 = 1 $
  • $ B(x+1, 2) $ → $ x_2 = x+1 $, $ y_2 = 2 $
  • $ C(0, 3) $ → $ x_3 = 0 $, $ y_3 = 3 $
Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 3

Substituindo na fórmula da área:
De
Simplificando cada termo dentro do módulo:
De
De
De
Para que exista o triângulo, a área precisa ser diferente de zero:
12 | x + 2 | neq 0
| x + 2 | neq 0
x + 2 neq 0
x neq -2

Resposta

O triângulo $ ABC $ existe para todos os valores de $ x $ exceto quando $ x = -2 $.

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