Verifique para quais valores de x existe o triângulo ABC, sendo A (x,1), B (x+1,2) e C (0,3).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de geometria analítica onde precisamos descobrir para quais valores de $ x $ existe um triângulo formado pelos pontos $ A(x,1) $, $ B(x+1,2) $ e $ C(0,3) $. O que vamos usar aqui é a fórmula da área de um triângulo usando coordenadas no plano. A ideia é verificar quando esses três pontos não estão todos numa linha reta, ou seja, quando a área do triângulo não é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da área de um triângulo formado por três pontos no plano cartesiano. Se os pontos são $ A(x_1, y_1) $, $ B(x_2, y_2) $ e $ C(x_3, y_3) $, a área $ \Delta $ é dada por:
No nosso caso, temos:
- $ A(x, 1) $ → $ x_1 = x $, $ y_1 = 1 $
- $ B(x+1, 2) $ → $ x_2 = x+1 $, $ y_2 = 2 $
- $ C(0, 3) $ → $ x_3 = 0 $, $ y_3 = 3 $
Vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 3
Substituindo na fórmula da área:
Simplificando cada termo dentro do módulo:
Para que exista o triângulo, a área precisa ser diferente de zero:
Resposta
O triângulo $ ABC $ existe para todos os valores de $ x $ exceto quando $ x = -2 $.