Seja U=(x, y) in R^2 mid x>0, e seja F: U R^2 o campo F(x, y)=(1x-1x).
Para a>0, demonstre que se lambda é um caminho seccionalmente continuo que inicia no ponto (1. 1) e termina no ponto (a, a), entāo integral2 F cdot d lambda=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no domínio U = {(x,y)∈ℝ² | x>0}, o campo F(x,y) = (1/x, −1/y) (supomos que era esse) tem integral de linha nula entre (1,1) e (a,a), para qualquer a>0. O conteúdo é integral de linha em campo conservativo e precisaremos mostrar que F é conservativo e encontrar sua função potencial.

Passo 2

O domínio U = {x>0} é um semiplano aberto e simplesmente conexo em ℝ². Como F é C¹ em U, basta verificar que a circulação local (o rotor) de F é zero para garantir que F seja conservativo: calcular ∂/∂x (F₂) e ∂/∂y (F₁): ambos são zero, logo curl
F = 0 e F admite função potencial f.

Passo 3

Para achar a função potencial f(x,y) tal que ∇f = F, integramos a componente x de F:
f(x,y)=integral 1x,dx=ln(x)+g(y),

Passo 4

depois impomos ∂f/∂y = F₂ = −1/y, o que dá g’(y)=−1/y. Integrando,
g(y)=-ln|y|+C

Passo 5

Podemos escolher C=0 e, como trabalhamos com y no caminho de 1 a a>0, |y|=y. Assim
f(x,y)=ln(x)-ln(y)

Passo 6

Como F é conservativo, a integral de linha independe do caminho e vale a diferença de f nos extremos:
integrallambda Fcdot dlambda = f(a,a)-f(1,1)=l(ln(a)-ln(a)r)-l(ln(1)-ln(1)r)=0

Resposta

0

Exercícios relacionados