Seja
, e seja
o campo
.
Para
, demonstre que se
é um caminho seccionalmente continuo que inicia no ponto (1. 1) e termina no ponto
, entāo
.
Para
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no domínio U = {(x,y)∈ℝ² | x>0}, o campo F(x,y) = (1/x, −1/y) (supomos que era esse) tem integral de linha nula entre (1,1) e (a,a), para qualquer a>0. O conteúdo é integral de linha em campo conservativo e precisaremos mostrar que F é conservativo e encontrar sua função potencial.
Passo 2
O domínio U = {x>0} é um semiplano aberto e simplesmente conexo em ℝ². Como F é C¹ em U, basta verificar que a circulação local (o rotor) de F é zero para garantir que F seja conservativo: calcular ∂/∂x (F₂) e ∂/∂y (F₁): ambos são zero, logo curl
F = 0 e F admite função potencial f.
F = 0 e F admite função potencial f.
Passo 3
Para achar a função potencial f(x,y) tal que ∇f = F, integramos a componente x de F:
Passo 4
depois impomos ∂f/∂y = F₂ = −1/y, o que dá g’(y)=−1/y. Integrando,
Passo 5
Podemos escolher C=0 e, como trabalhamos com y no caminho de 1 a a>0, |y|=y. Assim
Passo 6
Como F é conservativo, a integral de linha independe do caminho e vale a diferença de f nos extremos:
Resposta
0