Questão 02: Esboce o gráfico das funções abaixo, determine os intervalos de crescimento e decrescimento e estude os sinais das funções.
f(x)= x+1, & x<1 2 x+1, & x >= 1

Passo 1

A função que temos é definida por partes:
f(x) = x + 1, & x < 1, 2x + 1, & x >= 1
O que precisamos: desenhar o gráfico, achar onde cresce/decresce e estudar onde f(x) é positiva, negativa ou zero.

Passo 2

Cada ramo é uma reta. No primeiro, para x<1, vale y=x+1, com coeficiente angular 1; no segundo, para x≥1, vale y=2x+1, com coeficiente angular 2. Como o coeficiente angular é a derivada nesse caso, temos f′(x)=1 em x<1 e f′(x)=2 em x>1.
Como ambos os coeficientes angulares são positivos, cada ramo é estritamente crescente. Logo, a função cresce em (−∞,1) e em [1,∞). Não há nenhum intervalo de decrescimento.

Passo 3

Para estudar os zeros, resolvemos f(x)=0 em cada ramo. No ramo x<1:
x + 1 = 0 implies x = -1, que fica em (−∞,1). No ramo x≥1:
2x + 1 = 0 implies x = -tfrac12, mas isso NÃO satisfaz x≥1, então não há zeros nesse ramo.

Passo 4

Agora o sinal: em x<1, se x<−1 então x+1<0, e se −1<x<1 então x+1>0. Em x≥1 temos 2x+1≥3>0. Resumindo, f(x)<0 em (−∞,−1), f(−1)=0 e f(x)>0 em (−1,∞).

Passo 5

Para esboçar o gráfico, desenhe: a reta y=x+1 até x=1 com ponto aberto em (1,2), e a reta y=2x+1 a partir de x=1 com ponto fechado em (1,3). Marque também o ponto (−1,0) onde a função zera.

Resposta

Gráfico: reta y=x+1 para x<1 (ponto aberto em (1,2)), reta y=2x+1 para x>=1 (ponto fechado em (1,3)).\nCrescimento: em (−∞,1) e em [1,∞); não há decrescimento.\nSinal: f(x)<0 em (−∞,−1), f(−1)=0, f(x)>0 em (−1,∞).

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