Questão 02: Esboce o gráfico das funções abaixo, determine os intervalos de crescimento e decrescimento e estude os sinais das funções.
Passo 1
A função que temos é definida por partes:
O que precisamos: desenhar o gráfico, achar onde cresce/decresce e estudar onde f(x) é positiva, negativa ou zero.
Passo 2
Cada ramo é uma reta. No primeiro, para x<1, vale y=x+1, com coeficiente angular 1; no segundo, para x≥1, vale y=2x+1, com coeficiente angular 2. Como o coeficiente angular é a derivada nesse caso, temos f′(x)=1 em x<1 e f′(x)=2 em x>1.
Como ambos os coeficientes angulares são positivos, cada ramo é estritamente crescente. Logo, a função cresce em (−∞,1) e em [1,∞). Não há nenhum intervalo de decrescimento.
Como ambos os coeficientes angulares são positivos, cada ramo é estritamente crescente. Logo, a função cresce em (−∞,1) e em [1,∞). Não há nenhum intervalo de decrescimento.
Passo 3
Para estudar os zeros, resolvemos f(x)=0 em cada ramo. No ramo x<1:
Passo 4
Agora o sinal: em x<1, se x<−1 então x+1<0, e se −1<x<1 então x+1>0. Em x≥1 temos 2x+1≥3>0. Resumindo, f(x)<0 em (−∞,−1), f(−1)=0 e f(x)>0 em (−1,∞).
Passo 5
Para esboçar o gráfico, desenhe: a reta y=x+1 até x=1 com ponto aberto em (1,2), e a reta y=2x+1 a partir de x=1 com ponto fechado em (1,3). Marque também o ponto (−1,0) onde a função zera.
Resposta
Gráfico: reta
para
(ponto aberto em
), reta
para
(ponto fechado em
).\nCrescimento: em
e em
; não há decrescimento.\nSinal:
em
,
,
em
.