Considere a equação diferencial de segunda ordem:
(a) Determine a solução geral da equação homogênea associada.
(b) Usando o método dos coeficientes indeterminados, determine uma solução particular da equação completa e escreva a solução geral.
(b) Usando o método dos coeficientes indeterminados, determine uma solução particular da equação completa e escreva a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede (a) a solução geral da equação homogênea associada e (b), por coeficientes indeterminados, uma solução particular da equação completa, para então escrever a solução geral. Para (a) precisaremos montar e resolver a equação característica; para (b) usar palpite polinomial e igualar coeficientes.
Passo 2
A equação homogênea é
Assumimos
e obtemos a equação característica
O discriminante é
, logo raiz dupla
Para raiz dupla a solução geral homogênea é
Passo 3
Para a parte particular
usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é um polinômio de grau 2 e nenhuma raiz da característica é zero, tomamos o palpite
Calculamos
Passo 4
Substituindo em
:
Reagrupando termos em potências de
:
Isso deve ser igual a
, ou seja,
Daí
Passo 5
A solução particular encontrada é
Logo a solução geral da equação completa é
Resposta
(a)
(b) ,
de modo que
(b)
de modo que