(3,0) Considere a equação diferencial de segunda ordem:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=t^{2}
(a) Determine a solução geral da equação homogênea associada.
(b) Usando o método dos coeficientes indeterminados, determine uma solução particular da equação completa e escreva a solução geral.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 4y = t^{2}
e pede (a) a solução geral da equação homogênea associada e (b), por coeficientes indeterminados, uma solução particular da equação completa, para então escrever a solução geral. Para (a) precisaremos montar e resolver a equação característica; para (b) usar palpite polinomial e igualar coeficientes.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + 4y' + 4y = 0.
Assumimos y = e^{\lambda t} e obtemos a equação característica
\lambda^{2} + 4\lambda + 4 = 0.
O discriminante é \Delta = 4^{2}-4\cdot1\cdot4=0, logo raiz dupla
\lambda = -2.
Para raiz dupla a solução geral homogênea é
y_{h}(t) = C_{1}e^{-2t} + C_{2}\,t\,e^{-2t}.

Passo 3

Para a parte particular \displaystyle y'' + 4y' + 4y = t^{2} usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é um polinômio de grau 2 e nenhuma raiz da característica é zero, tomamos o palpite
y_{p}(t) = at^{2} + bt + c.
Calculamos
y_{p}'(t) = 2a\,t + b, \qquad y_{p}''(t) = 2a.

Passo 4

Substituindo em y'' + 4y' + 4y:
y_{p}'' + 4y_{p}' + 4y_{p} = 2a + 4(2a\,t + b) + 4(at^{2}+bt+c).
Reagrupando termos em potências de t:
=4a\,t^{2} + (8a+4b)\,t + (2a+4b+4c).
Isso deve ser igual a t^{2}, ou seja,
4a = 1, \qquad 8a + 4b = 0, \qquad 2a + 4b + 4c = 0.
Daí
a = \tfrac14, \quad b = -\tfrac12, \quad c = \tfrac38.

Passo 5

A solução particular encontrada é
y_{p}(t) = \tfrac14\,t^{2} - \tfrac12\,t + \tfrac38.
Logo a solução geral da equação completa é
y(t) = y_{h}(t) + y_{p}(t) = C_{1}e^{-2t} + C_{2}\,t\,e^{-2t} + \tfrac14\,t^{2} - \tfrac12\,t + \tfrac38.

Resposta

(a) \displaystyle y_{h}(t) = C_{1}e^{-2t} + C_{2}\,t\,e^{-2t}.
(b) \displaystyle y_{p}(t) = \tfrac14\,t^{2} - \tfrac12\,t + \tfrac38,
de modo que
y(t) = C_{1}e^{-2t} + C_{2}\,t\,e^{-2t} + \tfrac14\,t^{2} - \tfrac12\,t + \tfrac38.

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