Resoíva a seguinte equação diferencial utilizando o método da variação dos parâmetros:
(a) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
(b) Determine uma solução particular utilizando o método da variação dos parâmetros.
(c) Escreva a solução geral da equação completa.
(b) Determine uma solução particular utilizando o método da variação dos parâmetros.
(c) Escreva a solução geral da equação completa.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
pelo método da variação de parâmetros.
Conteúdo: equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e método de variação de parâmetros.
Precisamos (a) achar a solução geral da homogênea, (b) aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular e (c) combinar tudo para escrever a solução geral.
Conteúdo: equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e método de variação de parâmetros.
Precisamos (a) achar a solução geral da homogênea, (b) aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular e (c) combinar tudo para escrever a solução geral.
Passo 2
Para a equação homogênea associada
montamos a equação característica
cuja raízes são
Logo, uma base de soluções fundamentais é
e a solução geral da homogênea é
Passo 3
No método da variação de parâmetros escrevemos
com as condições
É mais direto usar a forma conhecida
onde
e
é o wronskiano de
.
Passo 4
Calculamos o wronskiano
Portanto
Passo 5
Agora integramos para achar
e
:
Para
:
Para
precisamos de
Usando a fórmula
com
,
, obtemos
Logo
Passo 6
Montamos
:
Simplificando:
Passo 7
A solução geral da equação não homogênea é
Resposta
(a) A solução geral da homogênea é
(b) Uma solução particular pelo método da variação de parâmetros é
(c) A solução geral da equação completa é