(3,0) Resoíva a seguinte equação diferencial utilizando o método da variação dos parâmetros:
y^{\prime \prime}-y=e^{x} \cos x
(a) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
(b) Determine uma solução particular utilizando o método da variação dos parâmetros.
(c) Escreva a solução geral da equação completa.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' - y = e^x\cos x
pelo método da variação de parâmetros.
Conteúdo: equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e método de variação de parâmetros.
Precisamos (a) achar a solução geral da homogênea, (b) aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular e (c) combinar tudo para escrever a solução geral.

Passo 2

Para a equação homogênea associada
y'' - y = 0
montamos a equação característica
r^2 - 1 = 0,
cuja raízes são
r = \pm 1.
Logo, uma base de soluções fundamentais é
y_1 = e^x, \quad y_2 = e^{-x},
e a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-x}.

Passo 3

No método da variação de parâmetros escrevemos
y_p = u_1(x)\,y_1 + u_2(x)\,y_2
com as condições
u_1'(x)\,y_1 + u_2'(x)\,y_2 = 0, \quad u_1'(x)\,y_1' + u_2'(x)\,y_2' = e^x\cos x.
É mais direto usar a forma conhecida
u_1' = -\frac{f(x)\,y_2}{W}, \quad u_2' = \frac{f(x)\,y_1}{W},
onde f(x)=e^x\cos x e W é o wronskiano de y_1,y_2.

Passo 4

Calculamos o wronskiano
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ \vspace{6pt} y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^x & e^{-x} \\\ \vspace{3pt} e^x & -e^{-x} \end{vmatrix} = -e^x e^{-x} - e^x e^{-x} = -2.
Portanto
u_1' = -\frac{e^x\cos x \cdot e^{-x}}{-2} = \frac{\cos x}{2}, \quad u_2' = \frac{e^x\cos x \cdot e^x}{-2} = -\frac{e^{2x}\cos x}{2}.

Passo 5

Agora integramos para achar u_1 e u_2:
Para u_1:
u_1 = \int \frac{\cos x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\sin x.
Para u_2 precisamos de
\int e^{2x}\cos x\,dx.
Usando a fórmula \displaystyle \int e^{ax}\cos(bx)\,dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos(bx)+b\sin(bx)) com a=2, b=1, obtemos
\int e^{2x}\cos x\,dx = \frac{e^{2x}}{5}(2\cos x + \sin x).
Logo
u_2 = -\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos x\,dx = -\frac{e^{2x}}{10}(2\cos x + \sin x).

Passo 6

Montamos y_p:
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \frac{1}{2}\sin x\cdot e^x - \frac{e^{2x}}{10}(2\cos x + \sin x)\cdot e^{-x}.
Simplificando:
y_p = e^x\frac{\sin x}{2} - e^x\frac{2\cos x + \sin x}{10} = e^x\frac{5\sin x - (2\cos x + \sin x)}{10} = e^x\frac{4\sin x - 2\cos x}{10} = \frac{e^x}{5}(2\sin x - \cos x).

Passo 7

A solução geral da equação não homogênea é
y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + \frac{e^x}{5}(2\sin x - \cos x).

Resposta

(a) A solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-x}.
(b) Uma solução particular pelo método da variação de parâmetros é
y_p = \frac{e^x}{5}\bigl(2\sin x - \cos x\bigr).
(c) A solução geral da equação completa é
y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + \frac{e^x}{5}(2\sin x - \cos x).

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