(1,0) O gradiente de temperatura y(x) ao longo de uma barra metálica é modelado pela seguinte equação diferencial:
\left(e^{x}-1\right) y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\ln \left(1+x^{2}\right) y=0, \quad y(1)=3, \quad y^{\prime}(1)=1
(a) Verifique se o Teorema de Existência e Unicidade é aplicável no ponto x=0.
(b) Qual é o maior intervalo aberto contendo x=1 onde o teorema garante existência e unicidade da soluçāo?

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear de segunda ordem
\bigl(e^{x}-1\bigr)\,y'' + x\,y' + \ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,y = 0,
com condições iniciais y(1)=3 e y'(1)=1. Queremos usar o Teorema de Existência e Unicidade para ODEs lineares, que pede escrever a equação na forma padrão
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0
e verificar se p(x) e q(x) são contínuas no ponto de interesse, além de certificar que o coeficiente de y'' nunca se anula nesse ponto.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, dividimos tudo por e^{x}-1 (desde que e^{x}-1\neq0):
y'' + \underbrace{\frac{x}{e^{x}-1}}_{p(x)}\,y' + \underbrace{\frac{\ln(1+x^{2})}{e^{x}-1}}_{q(x)}\,y = 0.
Portanto
p(x) = \frac{x}{e^{x}-1}, \quad q(x) = \frac{\ln(1+x^{2})}{e^{x}-1}.

Passo 3

O Teorema de Existência e Unicidade para ODEs lineares de segunda ordem exige:
  1. Coeficiente de y'' não pode ser zero no ponto em questão.
  2. p(x) e q(x) devem ser contínuas nesse ponto.

Passo 4

(a) Em x=0 temos e^{0}-1=0, ou seja, o coeficiente que multiplica y'' se anula. Isso faz do ponto x=0 um ponto singular da equação, de modo que não podemos escrever a equação na forma padrão lá e nem exigir continuidade de p e q (já que ambos têm denominador zero). Logo, o Teorema de Existência e Unicidade não é aplicável em x=0.

Passo 5

(b) Para garantir existência e unicidade em torno de x=1, precisamos de um intervalo aberto contendo 1 em que e^{x}-1\neq0 (para podermos dividir) e onde p e q sejam contínuas. Como e^{x}-1=0 só em x=0, a linha real se separa em (-\infty,0) e (0,\infty). Desses, o único que contém 1 é
(0,\infty).
Nesse intervalo e^{x}-1>0 e tanto p(x) quanto q(x) são contínuas.

Resposta

(a) Não, porque em x=0 o coeficiente de y'' é zero ( e^{0}-1=0), tornando o ponto singular.
(b) O maior intervalo aberto contendo 1 em que a equação é regular é (0,\infty).

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