Considere as seguintes equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para cada item, determine a solução particular que satisfaz as condições iniciais.
(a) y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+25 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

Temos a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 6y' + 25y = 0,
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. Vamos resolver usando a equação característica associada.

Passo 2

A equação característica é
r^2 + 6r + 25 = 0.
Resolvendo por Bhaskara,
r = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot1\cdot25}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 100}}{2} = -3 \pm 4\,i.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -3\pm4i, a solução geral é
y(t) = e^{-3t}\bigl(C_1\cos(4t) + C_2\sin(4t)\bigr).

Passo 4

Impondo y(0)=1.
Em t=0 temos y(0)=e^0\bigl(C_1\cos0 + C_2\sin0\bigr)=C_1, logo
C_1 = 1.

Passo 5

Agora calculamos y'(t). Derivando
y'(t) = e^{-3t}\bigl(-3(C_1\cos4t + C_2\sin4t) + (-4C_1\sin4t + 4C_2\cos4t)\bigr).
Em t=0 e usando C_1=1,
y'(0) = -3\cdot1 + 4C_2 = -3 + 4C_2,
e como y'(0)=0, segue
-3 + 4C_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = \tfrac{3}{4}.

Passo 6

Substituindo C_1=1 e C_2=\tfrac{3}{4} na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(t) = e^{-3t}\Bigl(\cos(4t) + \tfrac{3}{4}\sin(4t)\Bigr).

Exercícios relacionados