a) (1,0) Defina o que é uma equação diferencial de variáveis separáveis e descreva seu método de resolução.
b) (1,5) Usando o método explicado acima, resolva a equação diferencial abaixo:
\frac{d y}{d x}=e^{2 x+1 y}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pedido (a): Definir o que é uma equação diferencial de variáveis separáveis e descrever o método de solução.
  • Pedido (b): Usar o método explicado para resolver a equação diferencial dada.
  • Informação dada: a equação diferencial de primeira ordem
\frac{d y}{d x}=e^{2 x+1 y}.
Observação: aqui o termo 1y significa simplesmente y, então a equação é \dfrac{d y}{d x}=e^{2x+y}.

Passo 2

Definição clara e simples (respondo o item (a)):
  • Dizemos que uma equação diferencial de primeira ordem é de variáveis separáveis quando o lado direito pode ser escrito como um produto de duas funções, uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de y. Em símbolos, uma equação é separável se puder ser escrita como
\frac{d y}{d x}=g(x)\,h(y),
onde g(x) depende só de x e h(y) depende só de y.

Passo 3

Descrição passo a passo do método de resolução (continuação do item (a)), explicada de forma didática:
  1. Objetivo: colocar todos os termos que envolvem y multiplicando d y num lado da igualdade, e todos os termos que envolvem x multiplicando d x no outro lado. Isto é o que chamamos de “separar as variáveis”.
  2. Procedimento algébrico: supondo \dfrac{d y}{d x}=g(x)h(y) e h(y)\neq 0, escrevemos
\frac{1}{h(y)}\,d y = g(x)\,d x.
Isso é apenas multiplicar ambos os lados por \dfrac{1}{h(y)}\,d x.
3. Integração: integramos ambos os lados em y e x, respectivamente:
\int \frac{1}{h(y)}\,d y = \int g(x)\,d x + C,
onde C é a constante de integração.
4. Resolver a integral e, quando possível, isolar y para obter a solução explícita y(x). Se não for possível isolar, a solução implícita também é válida.
5. Sempre verificar domínio: a solução explícita pode impor restrições (por exemplo, uma expressão dentro de log precisa ser positiva). Se houver condição inicial, usa-se ela para determinar C.

Passo 4

Exemplo rápido e bem concreto (didático): se tivéssemos \dfrac{dy}{dx}=x\,e^y, então \dfrac{1}{e^y}dy = x\,dx. Integrando,
\int e^{-y} dy = \int x\,dx \Rightarrow -e^{-y} = \frac{x^2}{2}+C,
que pode ser resolvido para y se quisermos. Isso mostra a mecânica: separar, integrar, achar constante.

Passo 5

Agora aplicando o método ao item (b). Reescrevemos o lado direito usando a propriedade dos expoentes:
e^{2x+y}=e^{2x}\,e^{y}.
Portanto a equação é
\frac{d y}{d x}=e^{y}\,e^{2x}.

Passo 6

Separação de variáveis: queremos todos os termos com y junto de dy e os com x junto de dx. Dividimos ambos os lados por e^{y} e multiplicamos por dx:
e^{-y}\,d y = e^{2x}\,d x.
Expliquei: usamos e^{-y}=\dfrac{1}{e^{y}}.

Passo 7

Integramos os dois lados. Calcule as integrais passo a passo:
  • À esquerda: \displaystyle \int e^{-y}\,d y. Lembre que a integral de e^{a y} em relação a y é \dfrac{1}{a}e^{a y}. Aqui a=-1, logo
\int e^{-y}\,d y = -e^{-y}.
  • À direita: \displaystyle \int e^{2x}\,d x. Pela mesma regra, com a=2,
\int e^{2x}\,d x = \frac{1}{2}e^{2x}.
Então, após integração temos
- e^{-y} = \frac{1}{2} e^{2x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Isolar e^{-y} e reescrever a constante de forma mais conveniente. Multiplicamos por -1:
e^{-y} = -\frac{1}{2} e^{2x} - C.
Definimos C_1=-C (é só renomear a constante: lembrar que toda constante pode ser trocada por outra). Assim
e^{-y} = C_1 - \frac{1}{2} e^{2x}.
Comentário didático: é comum renomear a constante para deixar a forma mais simples. Aqui C_1 é uma constante arbitrária real.

Passo 9

Isolar y explicitamente. Tomamos logaritmo natural de ambos os lados — atenção: só podemos fazer isso onde o lado direito é positivo, então fica a condição de domínio C_1 - \dfrac{1}{2}e^{2x}>0. Procedendo,
- y = \ln\!\left(C_1 - \frac{1}{2} e^{2x}\right).
Portanto
y(x) = -\ln\!\left(C_1 - \frac{1}{2} e^{2x}\right).
Essa é a solução geral explícita, válida onde o argumento do log é positivo.

Passo 10

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular \dfrac{dy}{dx} a partir da solução e verificar que obtém-se e^{2x+y}.
  • De y(x) = -\ln\!\left(C_1 - \tfrac{1}{2}e^{2x}\right), temos
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{C_1 - \tfrac{1}{2}e^{2x}}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2 e^{2x}\right) = \frac{e^{2x}}{C_1 - \tfrac{1}{2}e^{2x}}.
  • e^{2x+y}=e^{2x}\,e^{y}=e^{2x}\cdot \frac{1}{C_1 - \tfrac{1}{2}e^{2x}}=\dfrac{e^{2x}}{C_1 - \tfrac{1}{2}e^{2x}}.
    Portanto a solução confere com a equação original.

Resposta

(a) Uma equação diferencial de variáveis separáveis é uma equação de primeira ordem que pode ser escrita como \dfrac{d y}{d x}=g(x)\,h(y). O método consiste em rearranjar para \dfrac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx, integrar ambos os lados \displaystyle\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx+C e isolar y (ou manter a forma implícita), verificando as restrições de domínio.
(b) \displaystyle y(x)=-\ln\!\left(C_1-\frac{1}{2}e^{2x}\right), com C_1 constante arbitrária e válido onde C_1-\dfrac{1}{2}e^{2x}>0.

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