a)
Defina o que é uma equação diferencial de variáveis separáveis e descreva seu método de resolução.
b)
Usando o método explicado acima, resolva a equação diferencial abaixo:
b)
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pedido (a): Definir o que é uma equação diferencial de variáveis separáveis e descrever o método de solução.
- Pedido (b): Usar o método explicado para resolver a equação diferencial dada.
- Informação dada: a equação diferencial de primeira ordem
Observação: aqui o termo
significa simplesmente
, então a equação é
.
Passo 2
Definição clara e simples (respondo o item (a)):
- Dizemos que uma equação diferencial de primeira ordem é de variáveis separáveis quando o lado direito pode ser escrito como um produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de . Em símbolos, uma equação é separável se puder ser escrita como
onde
depende só de
e
depende só de
.
Passo 3
Descrição passo a passo do método de resolução (continuação do item (a)), explicada de forma didática:
- Objetivo: colocar todos os termos que envolvem
multiplicando num lado da igualdade, e todos os termos que envolvem multiplicando no outro lado. Isto é o que chamamos de “separar as variáveis”. - Procedimento algébrico: supondo
e , escrevemos
Isso é apenas multiplicar ambos os lados por
.
3. Integração: integramos ambos os lados em e
, respectivamente:
3. Integração: integramos ambos os lados em
onde
é a constante de integração.
4. Resolver a integral e, quando possível, isolar para obter a solução explícita
. Se não for possível isolar, a solução implícita também é válida.
5. Sempre verificar domínio: a solução explícita pode impor restrições (por exemplo, uma expressão dentro de log precisa ser positiva). Se houver condição inicial, usa-se ela para determinar .
4. Resolver a integral e, quando possível, isolar
5. Sempre verificar domínio: a solução explícita pode impor restrições (por exemplo, uma expressão dentro de log precisa ser positiva). Se houver condição inicial, usa-se ela para determinar
Passo 4
Exemplo rápido e bem concreto (didático): se tivéssemos
, então
. Integrando,
que pode ser resolvido para
se quisermos. Isso mostra a mecânica: separar, integrar, achar constante.
Passo 5
Agora aplicando o método ao item (b). Reescrevemos o lado direito usando a propriedade dos expoentes:
Portanto a equação é
Passo 6
Separação de variáveis: queremos todos os termos com
junto de
e os com
junto de
. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Expliquei: usamos
.
Passo 7
Integramos os dois lados. Calcule as integrais passo a passo:
- À esquerda:
. Lembre que a integral de em relação a é . Aqui , logo
- À direita:
. Pela mesma regra, com ,
Então, após integração temos
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Isolar
e reescrever a constante de forma mais conveniente. Multiplicamos por
:
Definimos
(é só renomear a constante: lembrar que toda constante pode ser trocada por outra). Assim
Comentário didático: é comum renomear a constante para deixar a forma mais simples. Aqui
é uma constante arbitrária real.
Passo 9
Isolar
explicitamente. Tomamos logaritmo natural de ambos os lados — atenção: só podemos fazer isso onde o lado direito é positivo, então fica a condição de domínio
. Procedendo,
Portanto
Essa é a solução geral explícita, válida onde o argumento do log é positivo.
Passo 10
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular
a partir da solução e verificar que obtém-se
.
- De
, temos
- Já
.
Portanto a solução confere com a equação original.
Resposta
(a) Uma equação diferencial de variáveis separáveis é uma equação de primeira ordem que pode ser escrita como
. O método consiste em rearranjar para
, integrar ambos os lados
e isolar
(ou manter a forma implícita), verificando as restrições de domínio.
(b) , com
constante arbitrária e válido onde
.
(b)