Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
ointC(-x^2+x) d y, onde C é a curva fechada, determinada pela reta x-2 y=0 e pela parábola x=2 y^2

Passo 1

O exercício pede para calcular ointC(-x^2+x),dy usando o Teorema de Green. O conteúdo é integração de linha transformada em integral dupla, e vamos precisar identificar os campos P(x,y) e Q(x,y). Como só aparece dy, temos P=0 e Q=-x^2+x.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, com orientação positiva de C,
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA,
e aqui
partial Qpartial x = -2x+1, partial Ppartial y=0,

Passo 3

portanto
ointC(-x^2+x),dy = integral duplaD (1-2x),dA

Passo 4

A região D é limitada pela parábola x=2y^2 e pela reta x=2y. Elas se cruzam em 2y^2=2y, ou seja, y=0 e y=1. Logo,
D = (x,y): 0<= y<=1,;2y^2<= x<=2y

Passo 5

Montamos a integral dupla:
integraly=0^1integralx=2y^2^2y(1-2x),dx,dy

Passo 6

Na ordem x então y calculamos primeiro a integral interna:
integral2y^2^2y(1-2x),dx = l[x - x^2r]2y^2^2y = (2y - 4y^2) - (2y^2 -4y^4) = 2y -6y^2 +4y^4

Passo 7

Agora integramos em y:
integral0^1(2y -6y^2 +4y^4),dy = l[y^2 -2y^3 + tfrac45y^5r]0^1 = 1 -2 + tfrac45 = -tfrac15

Resposta

-\u00bd{5}

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