I=integral x^3+x+2x^5+2 x^3+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular:
I = integral x^3 + x + 2x^5 + 2x^3 + x , dx
Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que ajuda a dividir frações complicadas em partes mais simples para integrar facilmente. Vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração original em termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^5 + 2x^3 + x.
Observamos que cada termo tem um x, então podemos fatorar:
x^5 + 2x^3 + x = x(x^4 + 2x^2 + 1)
Agora, vamos olhar para x^4 + 2x^2 + 1. Isso é um quadrado perfeito:
x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2
Então, o denominador fatorado fica:
x(x^2 + 1)^2

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração original usando frações parciais. Queremos expressar:
x^3 + x + 2x(x^2 + 1)^2 = Ax + Bx + Cx^2 + 1 + Dx + E(x^2 + 1)^2
Onde A, B, C, D e E são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x(x^2 + 1)^2 para eliminar os denominadores:
x^3 + x + 2 = A(x^2 + 1)^2 + (Bx + C)x(x^2 + 1) + (Dx + E)x
Expandindo os termos:
x^3 + x + 2 = A(x^4 + 2x^2 + 1) + Bx^4 + Bx^2 + Cx^3 + Cx + Dx^2 + Ex

Passo 5

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
x^3 + x + 2 = (A + B)x^4 + Cx^3 + (2A + B + D)x^2 + (C + E)x + A
Comparando os coeficientes dos termos de ambos os lados, temos:
A + B = 0 C = 1 2A + B + D = 0 C + E = 1 A = 2

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De A = 2, sabemos que A = 2.
  2. De A + B = 0, substituímos A:
2 + B = 0 Rightarrow B = -2
  1. De C = 1, temos C = 1.
  2. De C + E = 1, substituímos C:
1 + E = 1 Rightarrow E = 0
  1. De 2A + B + D = 0, substituímos A e B:
2(2) + (-2) + D = 0 Rightarrow 4 - 2 + D = 0 Rightarrow D = -2

Passo 7

Agora que temos os valores das constantes, substituímos de volta na decomposição:
x^3 + x + 2x(x^2 + 1)^2 = 2x + -2x + 1x^2 + 1 + -2x(x^2 + 1)^2
Então, a integral fica:
I = integral ( 2x + -2x + 1x^2 + 1 + -2x(x^2 + 1)^2 ) dx

Passo 8

Vamos integrar termo a termo.
  1. Primeiro termo:
integral 2x , dx = 2 ln|x|
  1. Segundo termo:
integral -2xx^2 + 1 , dx
Aqui, fazemos a substituição u = x^2 + 1, então du = 2x , dx. Assim:
integral -2xx^2 + 1 , dx = -ln|x^2 + 1|
  1. Terceiro termo:
integral 1x^2 + 1 , dx = arctan(x)
  1. Quarto termo:
integral -2x(x^2 + 1)^2 , dx
Aqui, novamente, substituímos u = x^2 + 1, então du = 2x , dx:
integral -2x(x^2 + 1)^2 , dx = 1x^2 + 1

Resposta

Juntando todos os resultados, temos:
I = 2 ln|x| - ln(x^2 + 1) + arctan(x) + 1x^2 + 1 + C
Onde C é a constante de integração.

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