Encontre as primitivas da função abaixo:
integral x^7 e^x^4 d x

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar as primitivas da função f(x)=x^7 e^x^4. Em outras palavras, calcular:
integral x^7 e^x^4,dx
Para resolver, vamos usar substituição e depois integração por partes.

Passo 2

Para facilitar o cálculo, observe que x^7 = x^4 cdot x^3. Fazendo a substituição:
u = x^4 Rightarrow du = 4x^3,dx Rightarrow x^3,dx = du4
Assim,
integral x^7 e^x^4,dx = integral x^4 cdot x^3 e^x^4,dx = 14integral u e^u,du

Passo 3

Agora precisamos calcular integral u e^u,du usando integração por partes. Escolhemos:
  • v = u e dw = e^u,du,
  • então dv = du e w = e^u.
Pela fórmula,
integral u e^u,du = u e^u - integral 1 cdot e^u,du = u e^u - e^u + C
Logo,
14integral u e^u,du = 14(u e^u - e^u) + C

Passo 4

Voltando à variável original x com u = x^4, temos:
14(u e^u - e^u) + C = 14(x^4 e^x^4 - e^x^4) + C = e^x^44(x^4 - 1) + C

Resposta

e^x^44(x^4 - 1) + C

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