Considere a equação diferencial de segunda ordem:
a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=e^{x}
b) Construa uma EDO de segunda ordem, determinando valores para a, b e c em (1) de forma que y_{p}=A x e^{x} seja solução particular, onde A=\frac{1}{2 a+b}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a equação diferencial de segunda ordem
a\,y''+b\,y'+c\,y=e^{x},
o enunciado pede para escolher a,b,c de modo que
y_{p}=A x e^{x}
seja uma solução particular, com
A=\frac{1}{2a+b}.
  • Informações úteis que já temos: a forma explícita de y_{p} e a expressão de A. O objetivo é encontrar relações entre a,b,c (ou valores concretos) que façam y_p satisfazer a EDO para todo x.

Passo 2

Calcular y_{p}' e y_{p}'' (derivadas de y_{p}=A x e^{x}). Vamos derivar passo a passo usando a regra do produto e a derivada de e^{x}.
Primeira derivada:
y_{p}'=A\frac{d}{dx}(x e^{x})=A\big(e^{x}+x e^{x}\big)=A e^{x}(x+1).
Segunda derivada:
y_{p}''=A\frac{d}{dx}\big(e^{x}(x+1)\big)=A e^{x}(x+1)+A e^{x}=A e^{x}(x+2).
(Explicando rápido: derivar (x+1)e^{x} e^{x}(x+1)+e^{x}=e^{x}(x+2).)

Passo 3

Substituir y_{p},y_{p}',y_{p}'' na expressão da EDO à esquerda:
a\,y_{p}''+b\,y_{p}'+c\,y_{p} = a\big(A e^{x}(x+2)\big)+b\big(A e^{x}(x+1)\big)+c\big(A e^{x}x\big).
Fatorando A e^{x}:
a\,y_{p}''+b\,y_{p}'+c\,y_{p}=A e^{x}\big[(a+b+c)x+(2a+b)\big].

Passo 4

Impor que a substituição produza o lado direito e^{x}. Ou seja, para todo x deve valer
A e^{x}\big[(a+b+c)x+(2a+b)\big]=e^{x}.
Cancelando e^{x} (sempre positivo, válido para todo x) obtemos a identidade polinomial
A\big[(a+b+c)x+(2a+b)\big]=1.
Para que uma expressão linear em x seja igual à constante 1 para todo x, os coeficientes devem satisfazer
A(a+b+c)=0\qquad\text{e}\qquad A(2a+b)=1.

Passo 5

Resolver as duas equações obtidas:
  • Da segunda, A(2a+b)=1. Mas o enunciado já nos dá A=\dfrac{1}{2a+b}, logo essa igualdade é automática — desde que 2a+b\neq0 (para A estar bem definida). Portanto exigimos
2a+b\neq0.
  • Da primeira, A(a+b+c)=0. Como A\neq0 (porque 2a+b\neq0), segue que
a+b+c=0.
Isolando c,
c=-(a+b).
Interpretação rápida (útil para a prova): a+b+c=0 significa que r=1 é raiz do polinômio característico a r^{2}+b r+c. Como 2a+b\neq0, tem-se p'(1)=2a+b\neq0, ou seja, r=1 é raiz simples — por isso o fator x aparece em y_{p}=x e^{x} (ressonância de primeira ordem).

Passo 6

Escrever a família de EDOs que atende à condição e dar um exemplo numérico simples.
  • Família geral: qualquer escolha de a,b com 2a+b\neq0 e
c=-(a+b)
faz com que y_{p}=A x e^{x} seja solução particular, com A=\dfrac{1}{2a+b}. Em forma de equação:
a\,y''+b\,y'-(a+b)\,y=e^{x},\qquad 2a+b\neq0.
  • Exemplo concreto (fácil de checar na prova): escolher a=1, b=0. Então c=-(1+0)=-1 e
A=\frac{1}{2\cdot1+0}=\frac{1}{2},
logo a EDO
y''-y=e^{x}
tem y_{p}=\tfrac{1}{2}x e^{x} como solução particular. Verificação rápida: calcular y_{p}' e y_{p}'' e substituir mostra que dá exatamente e^{x}.

Resposta

c=-(a+b) com 2a+b\neq0.\nExemplo: a=1,\;b=0,\;c=-1 (então y_{p}=\tfrac{1}{2}x e^{x}).

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