Considere a equação diferencial de segunda ordem:
b) Construa uma EDO de segunda ordem, determinando valores para
e
em (1) de forma que
seja solução particular, onde
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dada a equação diferencial de segunda ordem
o enunciado pede para escolher
de modo que
seja uma solução particular, com
- Informações úteis que já temos: a forma explícita de
e a expressão de . O objetivo é encontrar relações entre (ou valores concretos) que façam satisfazer a EDO para todo .
Passo 2
Calcular
e
(derivadas de
). Vamos derivar passo a passo usando a regra do produto e a derivada de
.
Primeira derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
(Explicando rápido: derivar
dá
.)
Passo 3
Substituir
na expressão da EDO à esquerda:
Fatorando
:
Passo 4
Impor que a substituição produza o lado direito
. Ou seja, para todo
deve valer
Cancelando
(sempre positivo, válido para todo
) obtemos a identidade polinomial
Para que uma expressão linear em
seja igual à constante
para todo
, os coeficientes devem satisfazer
Passo 5
Resolver as duas equações obtidas:
- Da segunda,
. Mas o enunciado já nos dá , logo essa igualdade é automática — desde que (para estar bem definida). Portanto exigimos
- Da primeira,
. Como (porque ), segue que
Isolando
,
Interpretação rápida (útil para a prova):
significa que
é raiz do polinômio característico
. Como
, tem-se
, ou seja,
é raiz simples — por isso o fator
aparece em
(ressonância de primeira ordem).
Passo 6
Escrever a família de EDOs que atende à condição e dar um exemplo numérico simples.
- Família geral: qualquer escolha de
com e
faz com que
seja solução particular, com
. Em forma de equação:
- Exemplo concreto (fácil de checar na prova): escolher
, . Então e
logo a EDO
tem
como solução particular. Verificação rápida: calcular
e
e substituir mostra que dá exatamente
.