Seja a uma constante. Sabendo-se que a transformada de Laplace de f(t)= sen at é
F(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}, \quad s>0
e a de g(t)=t \cos a t é
G(s)=\frac{s^{2}-a^{2}}{\left(s^{2}+a^{2}\right)^{2}}, \quad s>0
mostre que a transformada de Laplace de h(t)=\operatorname{sen} a t-a t \cos a t é
H(s)=\frac{2 a^{3}}{\left(s^{2}+a^{2}\right)^{2}}, \quad s>0 .

Passo 1

O enunciado dá as transformadas de Laplace de duas funções e pede a transformada de uma combinação linear delas. Dados extraídos do enunciado:
  • A transformada de f(t)=\sin a t é
F(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\quad s>0.
  • A transformada de g(t)=t\cos a t é
G(s)=\frac{s^{2}-a^{2}}{\left(s^{2}+a^{2}\right)^{2}},\quad s>0.
A função cuja transformada se quer encontrar é
h(t)=\sin a t - a\,t\cos a t.
O que o exercício pede: calcular a transformada de Laplace de h(t), ou seja \mathcal{L}\{h\}(s), e mostrar que ela é
H(s)=\frac{2a^{3}}{(s^{2}+a^{2})^{2}},\quad s>0.

Passo 2

Lembrete útil (propriedades da transformada de Laplace) — vou explicar para não deixar nada subentendido:
  • Linearidade: a transformada de uma combinação linear é a combinação linear das transformadas. Ou seja, para constantes c_{1},c_{2} e funções u,v,
\mathcal{L}\{c_{1}u(t)+c_{2}v(t)\}(s)=c_{1}\mathcal{L}\{u\}(s)+c_{2}\mathcal{L}\{v\}(s).
Isto é justamente a ferramenta principal aqui, porque h(t) é combinação linear de \sin a t e de t\cos a t.
  • Multiplicação por t: se U(s)=\mathcal{L}\{u(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{t\,u(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}U(s).
Explicação rápida da última: vem de derivar sob o sinal de integral da definição \mathcal{L}\{u\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}u(t)\,dt com respeito a s. Essa propriedade explica por que a transformada de t\cos at envolve derivada da transformada de \cos at.

Passo 3

Aplicando a linearidade diretamente a h(t)=\sin a t - a\,t\cos a t, obtemos
H(s)=\mathcal{L}\{\sin a t\}(s) - a\,\mathcal{L}\{t\cos a t\}(s).
Usando os dados do enunciado: \mathcal{L}\{\sin a t\}(s)=F(s) e \mathcal{L}\{t\cos a t\}(s)=G(s). Então
H(s)=F(s)-a\,G(s).

Passo 4

Substituir as expressões fornecidas para F(s) e G(s):
H(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}-a\cdot\frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
Agora vamos colocar em denominador comum (s^{2}+a^{2})^{2} e simplificar cuidadosamente:
H(s)=\frac{a(s^{2}+a^{2})}{(s^{2}+a^{2})^{2}}-\frac{a(s^{2}-a^{2})}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
Juntando numeradores sobre o mesmo denominador:
H(s)=\frac{a\bigl(s^{2}+a^{2}\bigr)-a\bigl(s^{2}-a^{2}\bigr)}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
Fatorando a no numerador e simplificando termo a termo:
H(s)=\frac{a\bigl[(s^{2}+a^{2})-(s^{2}-a^{2})\bigr]}{(s^{2}+a^{2})^{2}} =\frac{a\bigl(s^{2}+a^{2}-s^{2}+a^{2}\bigr)}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
Os s^{2} cancelam:
H(s)=\frac{a(2a^{2})}{(s^{2}+a^{2})^{2}}=\frac{2a^{3}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.

Passo 5

Resumo e verificação curta (para ganhar confiança): o passo essencial foi usar linearidade para separar a transformada e depois usar a expressão já fornecida para \mathcal{L}\{t\cos at\}. A simplificação algébrica leva diretamente ao numerador 2a^{3} e ao denominador (s^{2}+a^{2})^{2}, como solicitado.

Resposta

H(s)=\frac{2a^{3}}{(s^{2}+a^{2})^{2}},\quad s>0.

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