Seja
uma constante. Sabendo-se que a transformada de Laplace de
sen at é
e a de
é
mostre que a transformada de Laplace de
é
Passo 1
O enunciado dá as transformadas de Laplace de duas funções e pede a transformada de uma combinação linear delas. Dados extraídos do enunciado:
- A transformada de
é
- A transformada de
é
A função cuja transformada se quer encontrar é
O que o exercício pede: calcular a transformada de Laplace de
, ou seja
, e mostrar que ela é
Passo 2
Lembrete útil (propriedades da transformada de Laplace) — vou explicar para não deixar nada subentendido:
- Linearidade: a transformada de uma combinação linear é a combinação linear das transformadas. Ou seja, para constantes
e funções ,
Isto é justamente a ferramenta principal aqui, porque
é combinação linear de
e de
.
- Multiplicação por
: se , então
Explicação rápida da última: vem de derivar sob o sinal de integral da definição
com respeito a
. Essa propriedade explica por que a transformada de
envolve derivada da transformada de
.
Passo 3
Aplicando a linearidade diretamente a
, obtemos
Usando os dados do enunciado:
e
. Então
Passo 4
Substituir as expressões fornecidas para
e
:
Agora vamos colocar em denominador comum
e simplificar cuidadosamente:
Juntando numeradores sobre o mesmo denominador:
Fatorando
no numerador e simplificando termo a termo:
Os
cancelam:
Passo 5
Resumo e verificação curta (para ganhar confiança): o passo essencial foi usar linearidade para separar a transformada e depois usar a expressão já fornecida para
. A simplificação algébrica leva diretamente ao numerador
e ao denominador
, como solicitado.