(1,5) Considere o sistema linear X^{\prime}=A X de duas equações diferenciais, onde A é uma matriz de coeficientes reais. Qual será a solução geral do sistema se for sabido que \lambda_{1}=4+2 i é um autovalor e K_{1}=\binom{1}{i} é um autovetor correspondente?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O sistema é X' = A X, com A matriz real 2\times2.
  • Sabe-se que \lambda_{1}=4+2 i é um autovalor e K_{1}=\binom{1}{i} é um autovetor correspondente.
O que o problema pede: encontrar a solução geral do sistema (em particular, a solução real geral, já que A é real).

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicação didática): quando A é real e possui um autovalor complexo \lambda=\alpha+i\beta com autovetor complexo v, então o conjugado \overline{\lambda}=\alpha-i\beta também é autovalor e \overline{v} é autovetor. Além disso, uma solução complexa do sistema é X(t)=v e^{\lambda t}. As partes real e imaginária dessa solução complexa são solutions reais linearmente independentes; portanto a solução geral real é uma combinação linear dessas duas partes.
Explicando sem jargão: a exponencial complexa e^{(\alpha+i\beta)t}=e^{\alpha t}(\cos\beta t + i\sin\beta t). Multiplicando pela componente complexa do autovetor e separando parte real e imaginária, obtemos duas soluções reais que evoluem com fator de decaimento/ crescimento e^{\alpha t} e oscilações \cos\beta t, \sin\beta t.

Passo 3

Aplicando a propriedade de conjugação: como A é real, existe o autovalor conjugado
\lambda_{2}=\overline{\lambda_{1}}=4-2 i,
com autovetor conjugado
K_{2}=\overline{K_{1}}=\binom{1}{-i}.

Passo 4

Construir a solução complexa associada a \lambda_{1} e K_{1}:
X_c(t)=K_{1}e^{\lambda_{1} t}=\binom{1}{i}e^{(4+2i)t}=e^{4t}\binom{1}{i}e^{2i t}.
Agora vamos multiplicar explicitamente e^{2i t} por cada componente para separar real e imaginário. Lembrando e^{2i t}=\cos(2t)+i\sin(2t).

Passo 5

Calcular componente a componente:
  • Primeira componente:
1\cdot e^{2i t}=\cos(2t)+i\sin(2t).
  • Segunda componente:
i\cdot e^{2i t}=i(\cos(2t)+i\sin(2t))=i\cos(2t)-\sin(2t)=-\sin(2t)+i\cos(2t).
Portanto
K_{1}e^{2i t}=\begin{pmatrix}\cos(2t)+i\sin(2t)\\[4pt]-\sin(2t)+i\cos(2t)\end{pmatrix}.
Multiplicando pelo fator e^{4t},
X_c(t)=e^{4t}\begin{pmatrix}\cos(2t)+i\sin(2t)\\[4pt]-\sin(2t)+i\cos(2t)\end{pmatrix}.]

Passo 6

Extrair as partes real e imaginária — estas são duas soluções reais independentes:
  • Parte real:
X_{1}(t)=\Re(X_c(t))=e^{4t}\begin{pmatrix}\cos(2t)\\[4pt]-\sin(2t)\end{pmatrix}.
  • Parte imaginária:
X_{2}(t)=\Im(X_c(t))=e^{4t}\begin{pmatrix}\sin(2t)\\[4pt]\cos(2t)\end{pmatrix}.
Argumento da independência: X_{1} e X_{2} são linearmente independentes (podem ser verificadas avaliando-os em t=0 por exemplo, obtendo vetores \binom{1}{0} e \binom{0}{1} multiplicados por e^{0}=1, que são independentes), logo formam uma base de soluções reais do sistema de segunda ordem.]

Passo 7

Formar a solução geral real: combinação linear dessas duas soluções reais com constantes reais c_{1},c_{2}:
X(t)=c_{1}X_{1}(t)+c_{2}X_{2}(t)=e^{4t}\left[c_{1}\begin{pmatrix}\cos(2t)\\[4pt]-\sin(2t)\end{pmatrix}+c_{2}\begin{pmatrix}\sin(2t)\\[4pt]\cos(2t)\end{pmatrix}\right],
com c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}. Esta é a solução geral real do sistema X'=AX.]

Resposta

X(t)=e^{4t}\!\left[c_{1}\!\begin{pmatrix}\cos(2t)\\[4pt]-\sin(2t)\end{pmatrix}+c_{2}\!\begin{pmatrix}\sin(2t)\\[4pt]\cos(2t)\end{pmatrix}\right],\quad c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}]

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