(1,5) Considere o sistema linear X^{\prime}=A X de duas equações diferenciais, onde A é uma matriz de coeficientes reais. Qual será a solução geral do sistema se for sabido que \lambda_{1}=4+2 i é um autovalor e K_{1}=\binom{1}{i} é um autovetor correspondente?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
O sistema é X' = A X, com A matriz real 2\times2.
Sabe-se que \lambda_{1}=4+2 i é um autovalor e K_{1}=\binom{1}{i} é um autovetor correspondente.
O que o problema pede: encontrar a solução geral do sistema (em particular, a solução real geral, já que A é real).
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicação didática): quando A é real e possui um autovalor complexo \lambda=\alpha+i\beta com autovetor complexo v, então o conjugado \overline{\lambda}=\alpha-i\beta também é autovalor e \overline{v} é autovetor. Além disso, uma solução complexa do sistema é X(t)=v e^{\lambda t}. As partes real e imaginária dessa solução complexa são solutions reais linearmente independentes; portanto a solução geral real é uma combinação linear dessas duas partes.
Explicando sem jargão: a exponencial complexa e^{(\alpha+i\beta)t}=e^{\alpha t}(\cos\beta t + i\sin\beta t). Multiplicando pela componente complexa do autovetor e separando parte real e imaginária, obtemos duas soluções reais que evoluem com fator de decaimento/ crescimento e^{\alpha t} e oscilações \cos\beta t, \sin\beta t.
Passo 3
Aplicando a propriedade de conjugação: como A é real, existe o autovalor conjugado
\lambda_{2}=\overline{\lambda_{1}}=4-2 i,
com autovetor conjugado
K_{2}=\overline{K_{1}}=\binom{1}{-i}.
Passo 4
Construir a solução complexa associada a \lambda_{1} e K_{1}:
Argumento da independência: X_{1} e X_{2} são linearmente independentes (podem ser verificadas avaliando-os em t=0 por exemplo, obtendo vetores \binom{1}{0} e \binom{0}{1} multiplicados por e^{0}=1, que são independentes), logo formam uma base de soluções reais do sistema de segunda ordem.]
Passo 7
Formar a solução geral real: combinação linear dessas duas soluções reais com constantes reais c_{1},c_{2}: