Questão 3) ( 2,0 pontos)
-Butano é separado de uma mistura gasosa equimolar metano/
-butano por compressão do gás para a pressão P na temperatura de
. Sendo
da alimentação em base molar condensados, qual é a pressão P e quais as composições das fases líquido e vapor resultantes?
Passo 1
O enunciado dá uma mistura gasosa equimolar metano/
-butano (ou seja, frações molares na alimentação
) que é comprimida à temperatura
. Ao comprimir chega-se a uma pressão
tal que
da alimentação, em base molar, se condensaram. O que se pede:
- Determinar a pressão
nessa condição. - Determinar as composições das fases resultantes: frações molares da fase líquida
e da fase vapor para .
Informações relevantes do enunciado a usar:
- Alimentação equimolar:
. - Temperatura fixa:
. - Fração condensada (liquida) é
. Vou usar a notação para a fração vapor: . - Pressões de saturação dos componentes a
(serão obtidas com a equação de Antoine para o -butano; justificarei a escolha e cálculo).
Passo 2
Modelagem do equilíbrio e balanços (passo didático):
- Em equilíbrio líquido–vapor, definimos para cada componente o coeficiente de equilíbrio
onde
é a fração molar no líquido e
é a fração molar no vapor. Vou assumir solução líquida ideal e vapor ideal em forma de Raoult simplificada, o que dá
onde
é a pressão de saturação do componente puro à temperatura
e
é a pressão total do sistema. Explico: Raoult diz
e, como
, obtemos
. Aqui cada variável significa:
-
: pressão de vapor do i-ésimo componente puro à temperatura dada. -
: pressão total aplicada (incógnita). -
, : frações molares nas fases líquida e vapor, respectivamente. - Balanço de matéria por componente para uma operação de flash (ou condensação parcial): para fração vapor
,
Usando
rearranjamos e obtemos a fórmula útil
Essa fórmula permite calcular
e
a partir de
e dos
. No nosso problema
e
são conhecidos; os
dependem de
por
. Ainda há a condição física
(ou equivalentemente
), que será usada para determinar
.
Passo 3
Aplicando as fórmulas para dois componentes com
e
:
- Escrevemos a soma das frações líquidas igual a 1:
onde usei
e
. Substituindo
obtém-se uma equação em
.
- Observação física importante (e aqui é onde o problema se simplifica): o metano tem temperatura crítica muito baixa (
do metano ), portanto à temperatura o metano, como substância pura, não se encontra na região de líquido; ele é extremamente volátil em comparação com o -butano. Na prática para este tipo de mistura, quando uma fração líquida relativamente pequena se forma à , o líquido será praticamente óleo rico em -butano (i.e., muito próximo de 1 e muito próximo de 0). Vou fazer a análise matemática que mostra isso de forma direta. - Se a fase líquida fosse praticamente pura em
-butano, então . Podemos verificar se essa hipótese é consistente com as equações: impondo na expressão de temos
Substituindo
e
:
Portanto, para que a fase líquida seja pura em
-butano (i.e.,
), é necessário que
. Isso é auto-consistente se
e as equações de balanço forem satisfeitas (verificação posterior). Assim podemos usar essa condição para determinar
através de
Ou seja: a pressão total necessária é seis vezes a pressão de saturação do
-butano puro à
. Agora precisamos calcular
.
Passo 4
Cálculo de
(explicando a equação de Antoine usada):
- A equação de Antoine (forma comum) fornece a pressão de vapor do componente puro em função da temperatura:
onde
está em mmHg se os parâmetros
forem os correspondentes, e
em
. Para o
-butano, um conjunto comum de parâmetros (válido na faixa de temperatura que inclui
) é:
- Substituindo
:
Calculemos passo a passo:
Portanto
Convertendo para atm (
):
- Agora aplicamos
:
(Se preferir em bar:
então
.)
Passo 5
Cálculo das composições das fases (usando
e balanços):
- Primeiro, para o
-butano:
- Com
(hipótese verificada pela equação anterior), obtemos . - Frações na fase vapor:
- Verificação rápida do balanço com
:
portanto o balanço de componente do
-butano fecha corretamente (o metano também fecha por complemento). Assim a solução é consistente.
Passo 6
Resumo físico e observações (didática e realismo):
- Resultado físico: à
e para a condição em que da alimentação foi condensada, a fase líquida é praticamente pura em -butano ( ), enquanto a fase vapor é rica em metano ( ). - Observação sobre suposições: usei Raoult (solução ideal) e a equação de Antoine para
-butano. Para o metano a noção de pressão de saturação pura a não é aplicável (metano está acima de seu ), porém no nosso caso isso não causou problema porque o líquido ficou praticamente puro em -butano, de modo que a condição de equilíbrio ficou dominada pela pressão de saturação do -butano. Em problemas reais, onde metano dissolvido no líquido fosse relevante, seria recomendado usar um método termodinâmico mais realista (coeficientes de fugacidade / EOS).