Considere a equação diferencial
sujeita a
Resolva a equação utilizando a transformada de Laplace, isto é:
calcule a transformada de ambos os membros da equação:
calcule a transformada de ambos os membros da equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Precisamos aplicar a transformada em ambos os lados da equação para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que:
- A transformada de
é - A transformada de
é - A transformada de
é
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo pelas fórmulas:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação para resolver
. Primeiro, vamos agrupar os termos que envolvem
:
Fatorando
:
Passo 4
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Vamos simplificar cada fração separadamente. Primeiro, a parte sem os termos de deslocamento:
Podemos separar isso em duas frações:
Sabemos que:
Aqui,
, então:
Passo 6
Agora, vamos lidar com os termos que possuem
, que correspondem a deslocamentos no tempo. Utilizando a propriedade de deslocamento:
Calculando a transformada inversa sem o deslocamento:
Então, aplicando o deslocamento para
e
:
Resposta
Juntando todas as partes, a solução da equação diferencial é: