Considere a equação diferencial
y^prime prime+5 y=U2(t)+U3(t)
sujeita a
l y(0)=6 y^prime(0)=4
Resolva a equação utilizando a transformada de Laplace, isto é:
calcule a transformada de ambos os membros da equação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 5y = U2(t) + U3(t)
com as condições iniciais y(0) = 6 e y'(0) = 4 . O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Precisamos aplicar a transformada em ambos os lados da equação para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que:
  • A transformada de y''(t) é s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
  • A transformada de y(t) é Y(s)
  • A transformada de Ua(t) é e^-a ss
Aplicando isso na nossa equação:
Ly'' + 5Ly = LU2(t) + LU3(t)
Substituindo pelas fórmulas:
(s^2 Y(s) - s cdot 6 - 4) + 5 Y(s) = e^-2ss + e^-3ss

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação para resolver Y(s) . Primeiro, vamos agrupar os termos que envolvem Y(s) :
s^2 Y(s) + 5 Y(s) = s cdot 6 + 4 + e^-2ss + e^-3ss
Fatorando Y(s) :
Y(s)(s^2 + 5) = 6s + 4 + e^-2s + e^-3ss

Passo 4

Agora, isolamos Y(s) dividindo ambos os lados por s^2 + 5 :
Y(s) = 6s + 4s^2 + 5 + e^-2s + e^-3ss(s^2 + 5)

Passo 5

Vamos simplificar cada fração separadamente. Primeiro, a parte sem os termos de deslocamento:
6s + 4s^2 + 5
Podemos separar isso em duas frações:
6ss^2 + 5 + 4s^2 + 5
Sabemos que:
  • L^-1ss^2 + a^2 = cos(a t)
  • L^-1as^2 + a^2 = sin(a t)
Aqui, a = raiz5 , então:
L^-16ss^2 + 5 = 6 cos(raiz5 t)
L^-14s^2 + 5 = 4raiz5 sin(raiz5 t)

Passo 6

Agora, vamos lidar com os termos que possuem e^-as , que correspondem a deslocamentos no tempo. Utilizando a propriedade de deslocamento:
L^-1e^-ass(s^2 + 5) = ua(t) cdot L^-11s(s^2 + 5)(t - a)
Calculando a transformada inversa sem o deslocamento:
L^-11s(s^2 + 5) = 1 - cos(raiz5 t)5
Então, aplicando o deslocamento para a = 2 e a = 3 :
L^-1e^-2ss(s^2 + 5) = u2(t) cdot 1 - cos(raiz5 (t - 2))5
L^-1e^-3ss(s^2 + 5) = u3(t) cdot 1 - cos(raiz5 (t - 3))5

Resposta

Juntando todas as partes, a solução da equação diferencial é:
y(t) = 6 cos(raiz5, t) + 4raiz5 sin(raiz5, t) + 15 [ u2(t) (1 - cos(raiz5(t - 2))) + u3(t) (1 - cos(raiz5(t - 3))) ]

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