Calcule a transformada inversa de Laplace das expressões abaixo.
1s(s^2+5) 1s+1s^2+5

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de duas expressões:
F1(s)=1sl(s^2+5r) e F2(s)=1s+1s^2+5
O conteúdo que vamos usar inclui decomposição em frações parciais e as transformadas conhecidas
L^-1tfrac1s(t)=1, L^-1tfracss^2+omega^2(t)=cos(omega t), L^-1tfracomegas^2+omega^2(t)=sin(omega t)

Passo 2

Para F1(s)=1s(s^2+5) fazemos frações parciais:
1s(s^2+5) =As+Bs+Cs^2+5
Multiplicando por s(s^2+5) segue
1 = A(s^2+5)+(Bs+C)s = (A+B)s^2+Cs+5A
Igualando coeficientes:
A+B=0,;C=0,;5A=1 Longrightarrow A=15, B=-15, C=0
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1s(s^2+5) =15,1s -15,ss^2+5
Aplicando a transformada inversa:
L^-1F1(s)(t) =15,1 -15cosl(raiz5,tr) =15l(1-cos(raiz5,t)r)

Passo 3

Para F2(s)=1s+1s^2+5 usamos linearidade:
L^-1F2(s)(t) =L^-1tfrac1s(t) +L^-1tfrac1s^2+5(t)
Sabendo que L^-1tfrac1s=1 e
L^-1tfrac1s^2+5= tfrac1raiz5sin(raiz5,t), obtemos
L^-1F2(s)(t) =1+1raiz5sinl(raiz5,tr)

Resposta

L^-1!ltfrac1s(s^2+5)r(t) =15l(1-cos(raiz5,t)r),
L^-1!ltfrac1s+tfrac1s^2+5r(t) =1+1raiz5sin(raiz5,t)

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