Calcule a transformada de Laplace das expressōes abaixo.
dd t[e^-4 t t sen(3 t)]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
ddtl[e^-4t,tsin(3t)r]
O conteúdo principal é a propriedade
Lf'(t)(s)=s,Lf(t)(s)-f(0),
além da transformação de Laplace de e^atg(t) pelo deslocamento de variável em s.

Passo 2

Defina
f(t)=e^-4t,tsin(3t)
Primeiro calcule f(0):
f(0)=e^0cdot0cdotsin(0)=0

Passo 3

Calcule F(s)=Lf(t)(s). Use que, para g(t)=tsin(3t),
Ltsin(3t)(s) =2cdot3,s(s^2+3^2)^2 =6s(s^2+9)^2
Como f(t)=e^-4tg(t), vale o deslocamento
F(s)=Le^-4tg(t)(s) =G(s+4) =6,(s+4)l((s+4)^2+9r)^2

Passo 4

Agora aplique a propriedade da derivada:
Lf'(t)(s) =s,F(s)-f(0) =s;6,(s+4)l((s+4)^2+9r)^2-0 =6,s,(s+4)l((s+4)^2+9r)^2

Resposta

Lltfracddt[e^-4ttsin(3t)]r(s) =6,s,(s+4)l((s+4)^2+9r)^2

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