Considere a equação diferencial:
Calcule o Wronskiano de
e
.
Calcule o Wronskiano de
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o Wronskiano de $ y_{1} $ e $ y_{2} $ para a equação diferencial dada:
Esse problema está na área de Equações Diferenciais, mais especificamente em equações lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o Wronskiano usando a fórmula de Abel.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os coeficientes da equação diferencial. A equação está na forma geral:
Comparando com a equação dada:
Passo 3
O Wronskiano de duas soluções $ y_{1} $ e $ y_{2} $ de uma equação diferencial linear de segunda ordem pode ser calculado usando a fórmula de Abel:
Aqui, $ W(t_0) $ é o Wronskiano no ponto inicial $ t_0 $.
Passo 4
Vamos substituir $ b(t) $ e $ a(t) $ na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral que aparece na fórmula de Abel:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo a integral na fórmula de Abel:
Usando propriedades dos logaritmos:
Então:
Resposta
O Wronskiano de $ y_{1} $ e $ y_{2} $ é proporcional a $ t^{4} $, ou seja:
onde $ C $ é uma constante.