Considere a equação diferencial:
t^2 y^prime prime-4 t y^prime+6 y=0
Calcule o Wronskiano de y1 e y2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o Wronskiano de $ y_{1} $ e $ y_{2} $ para a equação diferencial dada:
y1
Esse problema está na área de Equações Diferenciais, mais especificamente em equações lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o Wronskiano usando a fórmula de Abel.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os coeficientes da equação diferencial. A equação está na forma geral:
a(t) y'' + b(t) y' + c(t) y = 0
Comparando com a equação dada:
a(t) = t^2
b(t) = -4t
c(t) = 6

Passo 3

O Wronskiano de duas soluções $ y_{1} $ e $ y_{2} $ de uma equação diferencial linear de segunda ordem pode ser calculado usando a fórmula de Abel:
y1
Aqui, $ W(t_0) $ é o Wronskiano no ponto inicial $ t_0 $.

Passo 4

Vamos substituir $ b(t) $ e $ a(t) $ na fórmula:
b(t)

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral que aparece na fórmula de Abel:
integral b(t)a(t) dt = integral -4t dt = -4 ln|t| + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo a integral na fórmula de Abel:
W(t) = W(t0) exp( -(-4 ln|t|) ) = W(t0) exp(4 ln|t|)
Usando propriedades dos logaritmos:
exp(4 ln|t|) = |t|^4
Então:
W(t) = W(t0) cdot t^4

Resposta

O Wronskiano de $ y_{1} $ e $ y_{2} $ é proporcional a $ t^{4} $, ou seja:
y1
onde $ C $ é uma constante.

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