Resolva os seguintes PVIs:
y^prime prime+25 y^prime=0, y(0)=0, y^prime(0)=5

Passo 1

O enunciado pede resolver um problema de valor inicial (PVI) para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Ou seja, vamos achar a solução geral de y'' + 25y' = 0 e depois determinar as constantes usando y(0)=0 e y'(0)=5.

Passo 2

Para resolver a parte homogênea, montamos a equação característica associada à ODE. Assumimos solução do tipo y=e^rx e substituímos em y''+25y'=0:

Passo 3

r^2 + 25r = 0

Passo 4

Resolvendo r^2+25r=0 obtemos as raízes:
rigl(r+25r)=0 
Logo r1=0 e r2=-25.

Passo 5

Com as raízes distintas, a solução geral é combinação linear das exponenciais:
y(x) = C1 e^0,x + C2 e^-25x = C1 + C2 e^-25x

Passo 6

Agora calculamos a derivada para usar as condições iniciais:
y'(x) = 0 + C2l(-25 e^-25xr) = -25C2 e^-25x

Passo 7

Aplicando as condições em x=0:
  1. y(0)=C1 + C2 = 0
  2. y'(0)=-25C2 = 5
Do segundo, C2 = -tfrac525 = -tfrac15. Substituindo na primeira, C1 = -C2 = tfrac15.

Resposta

y(x)=15-15e^-25x=1-e^-25x5

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