Determine o domínio das seguintes funções vetoriais:
F(t)=ln (t) i+raiz1-t^2 j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função vetorial:
F(t) = ln(t) i + raiz1 - t^2 j
Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de $ t $ essa função está definida. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre os domínios de funções matemáticas, especialmente o logaritmo natural ($ \ln(t) t \sqrt{1 - t^{2}} $).

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função vetorial: $ \ln(t) \vec{i} $.
O logaritmo natural, $ \ln(t) $, está definido apenas para valores de $ t $ que sejam maiores que zero, ou seja, $ t > 0 $. Se $ t $ for zero ou negativo, o logaritmo não existe nos números reais.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda componente: $ \sqrt{1 - t^{2}} \vec{j} $.
A raiz quadrada está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, precisamos que:
raiz1 - t^2 j
Isso significa que:
1 - t^2 >= 0
Para resolver essa inequação, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
t^2 <= 1
Isso nos dá que $ t $ deve estar no intervalo:
|t| <= 1

Passo 4

Agora, para que a função vetorial $ \vec{F}(t) $ esteja definida, ambas as componentes precisam estar definidas ao mesmo tempo. Então, precisamos encontrar os valores de $ t $ que satisfazem:
  1. $ t > 0 $ (para o $ \ln(t) $)
  2. $ -1 \leq t \leq 1 $ (para a $ \sqrt{1 - t^{2}} $)

Passo 5

Vamos combinar essas duas condições. Como $ t $ precisa ser maior que zero e, ao mesmo tempo, menor ou igual a um, o intervalo que satisfaz ambas as condições é:
t

Resposta

O domínio da função vetorial $ \vec{F}(t) = \ln(t) \vec{i} + \sqrt{1 - t^{2}} \vec{j} $ é:
F(t) = ln(t) i + raiz1 - t^2 j

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