Resolva o PVI:
x^prime prime+3 x^prime+2 x=0, x(0)=1, x^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: x'' + 3x' + 2x = 0, sujeito a x(0)=1 e x'(0)=-1. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Para encontrar a solução geral, montamos a equação característica associada:
r^2 + 3r + 2 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica por fatoração, temos
(r + 1)(r + 2) = 0,
logo as raízes são r1 = -1 e r2 = -2.

Passo 4

A solução geral da EDO é dada por
x(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t

Passo 5

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
x'(t) = -C1 e^-t - 2C2 e^-2t

Passo 6

Em t=0 obtemos o sistema
$$\begin{cases}C_1 + C_2 = 1,\-C_1 - 2C_2 = -1.
\end{cases}$$

Passo 7

Resolvendo, tiramos C2 = 0 e C1 = 1.

Passo 8

Portanto, a solução particular que satisfaz o PVI é
x(t) = e^-t

Resposta

x(t) = e^-t

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