Considere a equação diferencial:
t^2 y^prime prime-4 y=0
Calcule o Wronskiano de y1 e y2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
t^2 y'' - 4 y = 0
O conteúdo principal aqui envolve equações diferenciais lineares e o conceito de Wronskiano. Para resolver, vamos precisar encontrar duas soluções da equação e depois calcular o Wronskiano dessas soluções.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação diferencial $ t^{2} y’’ - 4 y = 0 $. Podemos reescrever essa equação na forma padrão dividindo tudo por $ t^{2} $:
t^2 y'' - 4 y = 0
Agora, identificamos que esta é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes que dependem de $ t $.

Passo 3

Para encontrar as soluções dessa equação, assumimos que elas podem ser da forma $ y = t^{k} $. Substituindo na equação, temos:
y = t^k
y' = k t^k-1
Substituindo $ y’’ $ na equação:
y'' = k(k-1) t^k-2
Simplificando:
y''
t^2 cdot k(k-1) t^k-2 - 4 t^k = 0
Como $ t^{k} \neq 0 $, temos:
k(k-1) t^k - 4 t^k = 0
t^k [k(k-1) - 4] = 0

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática $ k^{2} - k - 4 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
k^2 - k - 4 = 0
k = 1 pm raiz1 + 162
Portanto, as soluções são:
k = 1 pm raiz172
y1 = t^1 + raiz172

Passo 5

Agora, vamos calcular o Wronskiano $ W(y_{1}, y_{2}) $. O Wronskiano é dado por:
W(y1, y2)
Primeiro, encontramos as derivadas:
W(y1, y2) = y1 y2' - y2 y1'
y1' = 1 + raiz172 t^-1 + raiz172

Passo 6

Substituindo na fórmula do Wronskiano:
W = t^1 + raiz172 cdot 1 - raiz172 t^-1 - raiz172 - t^1 - raiz172 cdot 1 + raiz172 t^-1 + raiz172
Simplificando as potências de $ t $:
t
W = 1 - raiz172 t^0 - 1 + raiz172 t^0
W = 1 - raiz17 - 1 - raiz172
W = -2raiz172

Resposta

O Wronskiano de $ y_{1} $ e $ y_{2} $ é constante e igual a $ -\sqrt{17} $.

Exercícios relacionados