Considere a equação diferencial:
Calcule o Wronskiano de
e
.
Calcule o Wronskiano de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo principal aqui envolve equações diferenciais lineares e o conceito de Wronskiano. Para resolver, vamos precisar encontrar duas soluções da equação e depois calcular o Wronskiano dessas soluções.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação diferencial $ t^{2} y’’ - 4 y = 0 $. Podemos reescrever essa equação na forma padrão dividindo tudo por $ t^{2} $:
Agora, identificamos que esta é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes que dependem de $ t $.
Passo 3
Para encontrar as soluções dessa equação, assumimos que elas podem ser da forma $ y = t^{k} $. Substituindo na equação, temos:
Substituindo $ y’’ $ na equação:
Simplificando:
Como $ t^{k} \neq 0 $, temos:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática $ k^{2} - k - 4 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções são:
Passo 5
Agora, vamos calcular o Wronskiano $ W(y_{1}, y_{2}) $. O Wronskiano é dado por:
Primeiro, encontramos as derivadas:
Passo 6
Substituindo na fórmula do Wronskiano:
Simplificando as potências de $ t $:
Resposta
O Wronskiano de $ y_{1} $ e $ y_{2} $ é constante e igual a $ -\sqrt{17} $.