Considere a equação diferencial:
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é assim:
O conteúdo que vamos usar aqui é o de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente as equações de Euler-Cauchy. Para resolver, vamos precisar assumir uma solução da forma
e encontrar o valor de
que satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução da equação é do tipo
. Isso significa que a gente vai substituir
por
na equação diferencial.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Vamos substituir
na equação diferencial original:
Simplificando:
Passo 5
Fatorando
, temos:
Como
nunca é zero, podemos igualar a outra parte a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 7
Então, as soluções para
são:
Passo 8
Com esses valores de
, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: