Considere a equação diferencial:
t^2 y^prime prime-4 y=0
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é assim:
t^2 y'' - 4 y = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é o de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente as equações de Euler-Cauchy. Para resolver, vamos precisar assumir uma solução da forma y = t^r e encontrar o valor de r que satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução da equação é do tipo y = t^r. Isso significa que a gente vai substituir y por t^r na equação diferencial.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de y = t^r. A primeira derivada é:
y' = r t^r-1
E a segunda derivada é:
y'' = r (r - 1) t^r-2

Passo 4

Vamos substituir y'' na equação diferencial original:
t^2 cdot y'' - 4 y = t^2 cdot [r (r - 1) t^r-2] - 4 t^r = 0
Simplificando:
r (r - 1) t^r - 4 t^r = 0

Passo 5

Fatorando t^r, temos:
t^r [r (r - 1) - 4] = 0
Como t^r nunca é zero, podemos igualar a outra parte a zero:
r (r - 1) - 4 = 0

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática para r:
r^2 - r - 4 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 1 pm raiz1 + 162 = 1 pm raiz172

Passo 7

Então, as soluções para r são:
r1 = 1 + raiz172 e r2 = 1 - raiz172

Passo 8

Com esses valores de r, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
y(t) = C1 t^1 + raiz172 + C2 t^1 - raiz172
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 t^1 + raiz172 + C2 t^1 - raiz172

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