Encontre uma função contínua que satisfaça a equação diferencial dada e a condição inicial dada.
l1, 0 <= x <= 1 -1, x>1, y(0)=1

Passo 1

O exercício pede para encontrar uma função contínua y(x) que satisfaça a equação diferencial de primeira ordem
dydx+y=f(x)
com a condição inicial y(0)=1, onde f(x) é definida por partes: f(x)=1 em [0,1] e f(x)=−1 em (1,∞). Para resolver, vamos usar o método do fator integrante em cada intervalo, garantindo continuidade em x=1.

Passo 2

Para 0≤x≤1, temos f(x)=1. A equação fica
dydx+y=1
O fator integrante é e^{x}, então
$$y,e^{x}=\int 1\cdot e^{x},dx + C = e^{x}+C.
y,e^x=integral 1cdot e^x,dx + C = e^x+C y(x)=1 + C e^{-x}.
y(x)=1 + C e^-x á1 = 1 + C;\implies;C=0.
1 = 1 + C;implies;C=0 y(x)=1 \quadpara0\le x\le1.$$

Passo 3

Para x>1, f(x)=−1. A equação é
dydx+y=-1
Novamente com fator integrante e^{x}:
$$y,e{x}=\int(-1)e{x},dx + D = -e^{x}+D.
y,e^x=integral(-1)e^x,dx + D = -e^x+D y(x)=-1 + D e^{-x}.
y(x)=-1 + D e^-x 1 = -1 + D e^{-1};\implies;D e^{-1}=2;\implies;D=2e.
1 = -1 + D e^-1;implies;D e^-1=2;implies;D=2e y(x)=-1 + 2e,e^{-x} = -1 + 2e^{1-x}\quadparax>1.$$

Resposta

A solução contínua é
y(x)=
1,&0<= x<=1, -1+2e^1-x,&x>1

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