Encontre uma função contínua que satisfaça a equação diferencial dada e a condição inicial dada.
Passo 1
O exercício pede para encontrar uma função contínua y(x) que satisfaça a equação diferencial de primeira ordem
com a condição inicial y(0)=1, onde f(x) é definida por partes: f(x)=1 em [0,1] e f(x)=−1 em (1,∞). Para resolver, vamos usar o método do fator integrante em cada intervalo, garantindo continuidade em x=1.
Passo 2
Para 0≤x≤1, temos f(x)=1. A equação fica
O fator integrante é e^{x}, então
$$y,e^{x}=\int 1\cdot e^{x},dx + C = e^{x}+C.
Passo 3
Para x>1, f(x)=−1. A equação é
Novamente com fator integrante e^{x}:
$$y,e{x}=\int(-1)e{x},dx + D = -e^{x}+D.
Resposta
A solução contínua é
y(x)=
y(x)=