Considere a equação diferencial:
Verifique que
e
são soluções da equação diferencial.
Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo $ t^{2} y’’ - 4y = 0 $ e precisa verificar se as funções $ y_{1}(t) = t^{3} $ e $ y_{2}(t) = t^{-2} $ são soluções dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, principalmente derivadas, para substituir as funções na equação e ver se iguala a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como verificar se uma função é solução da equação diferencial dada. O método é simples: substituímos a função $ y(t) $ e suas derivadas na equação e verificamos se a igualdade se mantém verdadeira. Se sim, a função é uma solução; se não, não é.
Passo 3
Vamos começar verificando a primeira função $ y_{1}(t) = t^{3} $. Para isso, precisamos encontrar sua primeira e segunda derivadas.
Passo 4
Calculando as derivadas de $ y_{1}(t) = t^{3} $:
Passo 5
Agora, substituímos $ y_{1}(t) $ e $ y_{1}’’(t) $ na equação diferencial:
Vemos que a expressão não é igual a zero, ou seja, $ 2t^{3} \neq 0 $. Isso significa que $ y_{1}(t) = t^{3} $ não é uma solução da equação diferencial.
Passo 6
Agora, vamos verificar a segunda função $ y_{2}(t) = t^{-2} $. Primeiro, calculamos suas derivadas:
Passo 7
Substituímos $ y_{2}(t) $ e $ y_{2}’’(t) $ na equação diferencial:
Novamente, a expressão não é igual a zero, ou seja, $ 2t^{-2} \neq 0 $. Portanto, $ y_{2}(t) = t^{-2} $ não é uma solução da equação diferencial.
Resposta
Nenhuma das funções $ y_{1}(t) = t^{3} $ ou $ y_{2}(t) = t^{-2} $ são soluções da equação diferencial $ t^{2} y’’ - 4y = 0 $.