Considere a equação diferencial:
t^2 y^prime prime-3 y=0
Verifique que y1(t)=t^4 e y2(t)=t^-3 são soluções da equação diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as funções dadas satisfazem a equação diferencial de Euler–Cauchy: t^2y''-3y=0. Vamos usar derivadas simples e substituir na equação para checar se o resultado é zero.

Passo 2

Para y1(t)=t^4 calculamos as derivadas: y1'(t)=4t^3, y1''(t)=12t^2Substituindo na equação: t^2y1''-3y1=t^2cdot(12t^2)-3cdot t^4=12t^4-3t^4=9t^4Como o resultado não é zero, concluímos que y1(t)=t^4 não satisfaz a equação.

Passo 3

Para y2(t)=t^-3 calculamos as derivadas: y2'(t)=-3t^-4, y2''(t)=12t^-5Substituindo na equação: t^2y2''-3y2=t^2cdot(12t^-5)-3cdot t^-3=12t^-3-3t^-3=9t^-3Também não dá zero, logo y2(t)=t^-3 também não satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Portanto, apesar do enunciado, a verificação mostra que nenhuma das duas funções anula a expressão t^2y''-3y.

Resposta

As funções não satisfazem a equação diferencial, pois as substituições dão 9t^4 e 9t^-3, e não zero.

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