Considere a equação diferencial:
t^2 y^prime prime-3 y^prime+4 y=0
Encontre a solução geral da EDO.

Passo 1

A equação diferencial dada é do tipo Cauchy–Euler (ou equação de Euler), que tem a forma geral t^2y''+alpha t y'+beta y=0. Aqui, apesar de o enunciado não mostrar t multiplicando y', assumimos a forma clássica para resolver como Euler. Vamos precisar do método de adotar uma solução do tipo y=t^m e obter a equação característica.

Passo 2

Para usar o método de Cauchy–Euler, suponha y=t^m. Então
y'=m,t^m-1, y''=m(m-1),t^m-2

Passo 3

Substituindo em t^2y''-3t y'+4y=0 (forma clássica de Euler) temos:
t^2l(m(m-1)t^m-2r)-3tl(m t^m-1r)+4,t^m=0 o que simplifica para
m(m-1)t^m-3m t^m+4t^m=0Longrightarrow (m^2-m-3m+4)t^m=0 ou seja a equação característica
m^2-4m+4=0

Passo 4

Resolvendo
m^2-4m+4=(m-2)^2=0Longrightarrow m=2 (raiz dupla)

Passo 5

Como é raiz dupla, a solução geral da EDO de Euler fica
y(t)=C1t^2+C2t^2ln(t)

Resposta

y(t)=C1t^2+C2t^2ln(t)

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