Considere a equação diferencial:
Verifique que
e
são soluções da equação diferencial.
Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos apresenta uma equação diferencial do tipo:
E pede para a gente verificar se as funções:
são soluções dessa equação. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular as derivadas dessas funções e substituir na equação diferencial para ver se ela é satisfeita.
Passo 2
Vamos começar verificando a primeira função $ y_{1}(t) = t^{2} $.
Primeiro, calculamos a primeira derivada $ y_{1}’(t) $:
Em seguida, calculamos a segunda derivada $ y_{1}’’(t) $:
Agora, vamos substituir $ y_{1}(t) $, $ y_{1}’(t) $ e $ y_{1}’’(t) $ na equação diferencial:
Simplificando:
Para que $ y_{1}(t) $ seja solução, essa expressão deve ser igual a zero para todo $ t $. No entanto, vemos que:
A menos que $ t = 0 $ ou $ t = 1 $, a expressão não é zero. Portanto, há algo errado na nossa verificação inicial.
Passo 3
Parece que houve um erro na nossa verificação do $ y_{1}(t) $. Vamos revisar os cálculos.
Substituindo novamente na equação diferencial:
Para que $ y_{1}(t) $ seja solução, precisamos que:
Isso só é verdadeiro para $ t = 0 $ ou $ t = 1 $, não para todo $ t $. Portanto, deve haver um equívoco na função fornecida ou na interpretação da equação.
Resposta
Após verificar, constatamos que a função $ y_{1}(t) = t^{2} $ satisfaz a equação diferencial apenas para $ t = 0 $ e $ t = 1 $, e não para todos os valores de $ t $. Portanto, $ y_{1}(t) $ não é uma solução geral da equação diferencial dada.