Considere a equação diferencial:
t^2 y^prime prime-3 y^prime+4 y=0
Verifique que y1(t)=t^2 e y2(t)=t^2 ln t são soluções da equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos apresenta uma equação diferencial do tipo:
t^2 y'' - 3 y' + 4 y = 0
E pede para a gente verificar se as funções:
y1(t) = t^2
y2(t) = t^2 ln t
são soluções dessa equação. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular as derivadas dessas funções e substituir na equação diferencial para ver se ela é satisfeita.

Passo 2

Vamos começar verificando a primeira função $ y_{1}(t) = t^{2} $.
Primeiro, calculamos a primeira derivada $ y_{1}’(t) $:
y1(t) = t^2
Em seguida, calculamos a segunda derivada $ y_{1}’’(t) $:
y1'(t)
Agora, vamos substituir $ y_{1}(t) $, $ y_{1}’(t) $ e $ y_{1}’’(t) $ na equação diferencial:
y1'(t) = ddt (t^2) = 2t
Simplificando:
y1''(t)
Para que $ y_{1}(t) $ seja solução, essa expressão deve ser igual a zero para todo $ t $. No entanto, vemos que:
y1''(t) = ddt (2t) = 2
A menos que $ t = 0 $ ou $ t = 1 $, a expressão não é zero. Portanto, há algo errado na nossa verificação inicial.

Passo 3

Parece que houve um erro na nossa verificação do $ y_{1}(t) $. Vamos revisar os cálculos.
Substituindo novamente na equação diferencial:
y1(t)
t^2 y1'' - 3 y1' + 4 y1 = t^2(2) - 3(2t) + 4(t^2)
= 2t^2 - 6t + 4t^2
Para que $ y_{1}(t) $ seja solução, precisamos que:
= 6t^2 - 6t
y1(t)
Isso só é verdadeiro para $ t = 0 $ ou $ t = 1 $, não para todo $ t $. Portanto, deve haver um equívoco na função fornecida ou na interpretação da equação.

Resposta

Após verificar, constatamos que a função $ y_{1}(t) = t^{2} $ satisfaz a equação diferencial apenas para $ t = 0 $ e $ t = 1 $, e não para todos os valores de $ t $. Portanto, $ y_{1}(t) $ não é uma solução geral da equação diferencial dada.

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