Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
x^2 y^prime-x^2-3 x y-y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de primeira ordem
x^2y' - x^2 - 3xy - y = 0,
que é uma equação linear não homogênea. Vamos usar o método do fator integrante para equações da forma y' + P(x)y = Q(x).

Passo 2

Primeiro, dividimos toda a equação por x^2 (supondo xneq0) para colocá-la na forma padrão:
y' - 3x + 1x^2,y = 1

Passo 3

Aqui identificamos:
P(x) = -3x + 1x^2, Q(x) = 1
O fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^-integrall(3x+1x^2r)dx = e^-3ln|x| + 1x = x^-3e^1x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x). O lado esquerdo vira a derivada de mu(x)y:
l(mu(x)yr)' = mu(x),Q(x) = x^-3e^1x
Integramos em relação a x:
mu(x)y = integral x^-3e^1xdx + C

Passo 5

Para calcular integral x^-3e^1/xdx, fazemos a substituição u=1/x, então du=-1/x^2dx e
x^-3dx = x^-3l(-x^2dur) = -x^-1du = -u,du
Assim,
integral x^-3e^1xdx = -integral u e^udu = -(u-1)e^u = (1-u)e^u = l(1-1xr)e^1x

Passo 6

Voltando à expressão de y:
x^-3e^1x,y = l(1-1xr)e^1x + C Longrightarrow y = (1-tfrac1x)x^3 + C,x^3e^-1x = x^3 - x^2 + C,x^3e^-1x

Resposta

A solução geral é
y(x)=x^3-x^2+C,x^3e^-1/x,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados