Questão 1. Represente por uma integral de Fourier as funções a seguir:
f(x)={0, x<0 1,0<x<2 0, x>2
f(x)={0, x<0 1,0<x<2 0, x>2
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa representar a função definida por partes usando uma integral de Fourier. A função dada é:
Vamos usar conceitos de transformada de Fourier para fazer essa representação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a transformada de Fourier. Ela é uma ferramenta matemática que decompõe uma função em uma soma de ondas senoidais (sinas e cossinas) de diferentes frequências. A fórmula da transformada de Fourier para uma função $ f(x) $ é:
Onde:
- $ F(\omega) $ é a transformada de Fourier de $ f(x) $.
- $ \omega $ representa a frequência.
- $ j $ é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função $ f(x) $. Observando a definição de $ f(x) $, vemos que ela é igual a 1 apenas no intervalo de 0 a 2 e zero fora desse intervalo. Então, a integral fica mais simples:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. Integrar $ e^{-j\omega x} $ em relação a $ x $ de 0 a 2:
Simplificando, temos:
Passo 5
Finalmente, para representar a função $ f(x) $ usando a integral de Fourier, usamos a transformada inversa:
Substituindo $ F(\omega) $ que encontramos:
Resposta
A representação da função $ f(x) $ por uma integral de Fourier é: