Questão 1. Represente por uma integral de Fourier as funções a seguir:
f(x)={0, x<0 1,0<x<2 0, x>2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa representar a função definida por partes usando uma integral de Fourier. A função dada é:
f(x) = 0 & se x < 0 1 & se 0 < x < 2 0 & se x > 2
Vamos usar conceitos de transformada de Fourier para fazer essa representação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a transformada de Fourier. Ela é uma ferramenta matemática que decompõe uma função em uma soma de ondas senoidais (sinas e cossinas) de diferentes frequências. A fórmula da transformada de Fourier para uma função $ f(x) $ é:
f(x)
Onde:
  • $ F(\omega) $ é a transformada de Fourier de $ f(x) $.
  • $ \omega $ representa a frequência.
  • $ j $ é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função $ f(x) $. Observando a definição de $ f(x) $, vemos que ela é igual a 1 apenas no intervalo de 0 a 2 e zero fora desse intervalo. Então, a integral fica mais simples:
f(x)

Passo 4

Vamos resolver essa integral. Integrar $ e^{-j\omega x} $ em relação a $ x $ de 0 a 2:
e^-jomega x
Simplificando, temos:
x

Passo 5

Finalmente, para representar a função $ f(x) $ usando a integral de Fourier, usamos a transformada inversa:
f(x)
Substituindo $ F(\omega) $ que encontramos:
f(x) = 12pi integral-infty^infty F(omega) e^jomega x domega

Resposta

A representação da função $ f(x) $ por uma integral de Fourier é:
f(x)

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