Encontre o valor do limite:
lim x 3 2 x^3-5 x^2-2 x-34 x^3-13 x^2+4 x-3=

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto 32x^3-5x^2-2x-34x^3-13x^2+4x-3. O conteúdo aqui é limites de funções racionais e vamos precisar lidar com a forma indeterminada 0/0, usando fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, testamos a substituição direta de x=3 na função. No numerador temos 2cdot3^3-5cdot3^2-2cdot3-3=54-45-6-3=0 e no denominador 4cdot3^3-13cdot3^2+4cdot3-3=108-117+12-3=0. Isso gera indeterminação 0/0, então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, fatoramos numerador e denominador pelo método de divisão sintética (ou fatoração direta). Encontramos:
2x^3-5x^2-2x-3=(x-3)(2x^2+x+1)
4x^3-13x^2+4x-3=(x-3)(4x^2-x+1)

Passo 4

Como ambos têm o fator (x-3), podemos simplificar a função original:
2x^3-5x^2-2x-34x^3-13x^2+4x-3=(x-3)(2x^2+x+1)(x-3)(4x^2-x+1)=2x^2+x+14x^2-x+1, xneq3

Passo 5

Agora basta calcular o limite da função simplificada por substituição direta em x=3. No numerador: 2cdot3^2+3+1=18+3+1=22. No denominador: 4cdot3^2-3+1=36-3+1=34. Logo, o limite é 22/34=11/17.

Resposta

11/17

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